maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-5-665-681mais-284Research ArticleОригинальные статьиArticlesОдномодовые и двухмодовые неоднородные диссипативные структуры в нелокальной модели эрозииSingle-Mode and Dual-Mode Nongomogeneous Dissipative Structures in the Nonlocal Model of ErosionКовалеваА. М.KovalevaA. M.

аспирант

post-graduate student

nyama55@yandex.ruКуликовД. А.KulikovD. A.

канд. физ.-мат. наук, доцент

PhD, associate professor

kulikov_d_a@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 РоссияРоссияYaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, RussiaRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 РоссияРоссияYaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000Russian Federation201520102015225665681Copyright © Ковалева А.М., Куликов Д.А., 20152015Ковалева А.М., Куликов Д.А.Kovaleva A.M., Kulikov D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/284

Рассмотрена периодическая краевая задача для одного нелинейного уравнения с отклоняющимся пространственным аргументом в случае, когда отклонение мало. Данное уравнение называют пространственно нелокальным уравнением эрозии. Оно описывает формирование волнообразного рельефа под воздействием ионной бомбардировки и может быть проинтерпретировано как развитие известной модели Бредли–Харпера. В работе показано, что неоднородный рельеф может появиться при смене устойчивости однородными состояниями равновесия. В данной краевой задаче потеря устойчивости может происходить на высоких модах. Номер такой моды зависит от многих факторов. Например, от угла падения потока. В работе также показано, что данная нелинейная краевая задача может быть включена в класс абстрактных параболических уравнений, разрешимость задачи для которых была изучена в работах П.Е. Соболевского и предполагает использование аналитической теории полугрупп линейных ограниченных операторов. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), таких как: метод интегральных многообразий, нормальных форм Пуанкаре–Дюлака, а также асимптотические методы анализа. При этом разобраны обе задачи, возможные в данной ситуации: коразмерности один и коразмерности два. В частности, были получены асимптотические формулы для решений, которые описывают неоднородный волнообразный рельеф. Изучен вопрос об устойчивости данных решений. Приведен некоторый анализ нормальной формы. Приведены также асимптотические формулы для неоднородных волнообразных решений. В заключении статьи указаны некоторые возможные интерпретации результатов, которые получены в результате анализа данной краевой задачи.

We consider a periodic boundary-value problem for a nonlinear equation with the deviating spatial argument in the case when the deviation is small. This equation is called a spatially nonlocal erosion equation. It describes the formation of undulating surface relief under the influence of ion bombardment and can be interpreted as a development of the well-known Bradley-Harper model. It is shown that the nonhomogeneous surface relief can occur when the stability of the homogeneous states of equilibrium changes. In this boundary value problem the loss of stability can occur at the higher modes and a number of such modes. The mode number depends on many factors. For example, it depends on the angle of incidence. It is also shown that the nonlinear boundary value problem can be included into the class of abstract parabolic equations. Solvability of this problem was studied in the works by P.E. Sobolevsky, and this method assumes to use the analytical theory of semigroups of bounded linear operators. In order to solve the occurring bifurcation problems there were used the investigation methods of dynamical systems with an infinite-dimensional phase space (a space of initial conditions) such as: the method of integral manifolds, the method of Poincare–Dulac normal forms and asymptotic methods of analysis. Both possible in the given situation problems were studied: in codimension one and in codimension two. In particular, asymptotic formulas were obtained for solutions which describe nonhomogeneous undulating surface relief. The question about the stability of these solutions was studied. And the analysis of normal form was given. Also the asymptotic formulas for the nonhomogeneous undulating solutions were obtained. In conclusion some possible interpretations of the obtained results are indicated.

нелокальное уравнение эрозиипериодическая краевая задачаустойчивостьбифуркацииnonlocal model of erosionperiodic value boundary problemstabilitybifurcationsReferencesРудый А.С., Бачурин В.И., “Пространственно нелокальная модель эрозии поверхности ионной бомбардировкой”, Известия РАН, серия физическая, 72:5 (2008), 624–629; English transl.: Rudyi A. S., Bachurin V. I., “Spatially nonlocal model of surface erosion by ion bombardment”, Bulletin of the Russian Academy of Sciences, Physics, 72:5 (2008), 586–591.Рудый А.С., Бачурин В.И., “Пространственно нелокальная модель эрозии поверхности ионной бомбардировкой”, Известия РАН, серия физическая, 72:5 (2008), 624–629; English transl.: Rudyi A. S., Bachurin V. I., “Spatially nonlocal model of surface erosion by ion bombardment”, Bulletin of the Russian Academy of Sciences, Physics, 72:5 (2008), 586–591.Рудый А.C., Куликов А.Н., Метлицкая А.В., “Моделирование процессов формирования наноструктур при распылении ионной бомбардировкой”, Микроэлектроника, 40:2 (2011), 109–118; English transl.: Rudyi A. S., Kulikov A. N., Metlitskaya A. V., “Simulation of formation of nanostructures during sputtering of the surface by ion bombardment”, Russian Microelectronics, 40:2 (2011), 98–107.Рудый А.C., Куликов А.Н., Метлицкая А.В., “Моделирование процессов формирования наноструктур при распылении ионной бомбардировкой”, Микроэлектроника, 40:2 (2011), 109–118; English transl.: Rudyi A. S., Kulikov A. N., Metlitskaya A. V., “Simulation of formation of nanostructures during sputtering of the surface by ion bombardment”, Russian Microelectronics, 40:2 (2011), 98–107.Рудый А.С., Куликов А.Н., Куликов Д.А., Метлицкая А.В., “Высокомодовые рельефы в рамках пространственно-нелокальной модели эрозии”, Микроэлектроника, 43:4 (2014), 282–288; English transl.: Rudyi A. S., Kulikov A. N., Kulikov D. A., Metlitskaya A. V., “High-mode wave reliefs in a spatially nonlocal erosion model”, Russian Microelectronics, 43:4 (2014), 277–283.Рудый А.С., Куликов А.Н., Куликов Д.А., Метлицкая А.В., “Высокомодовые рельефы в рамках пространственно-нелокальной модели эрозии”, Микроэлектроника, 43:4 (2014), 282–288; English transl.: Rudyi A. S., Kulikov A. N., Kulikov D. A., Metlitskaya A. V., “High-mode wave reliefs in a spatially nonlocal erosion model”, Russian Microelectronics, 43:4 (2014), 277–283.Sigmund P., “A mechanism of surface micro-roughening by ion bombardment”, J. Mater. Sci, 8 (1973), 1545–1553.Sigmund P., “A mechanism of surface micro-roughening by ion bombardment”, J. Mater. Sci, 8 (1973), 1545–1553.Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of ripple topography induced by ion bombardment”, J. Vac. Sci. Technol. A, 6 (1988), 2390–2395.Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of ripple topography induced by ion bombardment”, J. Vac. Sci. Technol. A, 6 (1988), 2390–2395.Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Стриханов М.Н., “Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ядерная физика и инжиниринг, 1:2 (2010), 151–158; [Kudriashov N.A., Ryabov P.N., StrichanovM. N., “Chislennoe modelirovanie formirovania nanostructur na poverchnosti ploskich podlozhek pri ionnoy bombardirovke”, Yadernaya fizika i inginiring, 1:2 (2010), 151–158, (in Russian).]Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Стриханов М.Н., “Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ядерная физика и инжиниринг, 1:2 (2010), 151–158; [Kudriashov N.A., Ryabov P.N., StrichanovM. N., “Chislennoe modelirovanie formirovania nanostructur na poverchnosti ploskich podlozhek pri ionnoy bombardirovke”, Yadernaya fizika i inginiring, 1:2 (2010), 151–158, (in Russian).]Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 930–945; English transl.: Kulikov A. N, Kulikov D. A, “Formation of wavy nanostructures on the surface of flat substrates by ion bombardment”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 52:5 (2012), 800–814.Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 930–945; English transl.: Kulikov A. N, Kulikov D. A, “Formation of wavy nanostructures on the surface of flat substrates by ion bombardment”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 52:5 (2012), 800–814.Крейн C.Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва, 1967; [Krein S. G., Lineinye differentsialnye uravnenia v banakhovom prostranstve, Nauka, Moscow, 1967, (in Russian).]Крейн C.Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва, 1967; [Krein S. G., Lineinye differentsialnye uravnenia v banakhovom prostranstve, Nauka, Moscow, 1967, (in Russian).]Соболевский П.Е., “Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве”, Труды Московского математического общества, 10 (1961), 297–350; [Sobolevskiy P. E., “Ob uravneniach parabolicheskogo tipa v banachovom prostranstve”, Trudy Mosk. matem. ob-va, 10 (1961), 297–350, (in Russian).]Соболевский П.Е., “Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве”, Труды Московского математического общества, 10 (1961), 297–350; [Sobolevskiy P. E., “Ob uravneniach parabolicheskogo tipa v banachovom prostranstve”, Trudy Mosk. matem. ob-va, 10 (1961), 297–350, (in Russian).]Куликов А.Н., “О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, 1976, 114–129; [Kulikov A. N., “O gladkikh invariantnykh mnogoobraziyach nelineynich operatorov v banachovom prostranstve”, Issledovanie po ustoychivosti i teorii kolebaniy, 1976, 114–129, (in Russian).]Куликов А.Н., “О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, 1976, 114–129; [Kulikov A. N., “O gladkikh invariantnykh mnogoobraziyach nelineynich operatorov v banachovom prostranstve”, Issledovanie po ustoychivosti i teorii kolebaniy, 1976, 114–129, (in Russian).]Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркации рождения цикла и ее приложения, Мир, Москва, 1980; English transl.: Marsden J. E., McCraken M., The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976.Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркации рождения цикла и ее приложения, Мир, Москва, 1980; English transl.: Marsden J. E., McCraken M., The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976.Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений, Ярославль, 2003; [Kolesov A. Yu., Kulikov A.N., Invariantnye tori nelineynich evolutsionnych uravneniy, Yaroslavl, 2003, (in Russian).]Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений, Ярославль, 2003; [Kolesov A. Yu., Kulikov A.N., Invariantnye tori nelineynich evolutsionnych uravneniy, Yaroslavl, 2003, (in Russian).]Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений, Физматлит, Москва, 2004; [Kolesov A. Yu., Rozov N. Ch., Invariantnye tori nelineynich volnovych uravneniy, Fizmatlit, Moscow, 2004, (in Russian).]Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений, Физматлит, Москва, 2004; [Kolesov A. Yu., Rozov N. Ch., Invariantnye tori nelineynich volnovych uravneniy, Fizmatlit, Moscow, 2004, (in Russian).]Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Локальные методы анализа динамических систем, Ярославль, 2006; [Glyzin S.D. Kolesov A.Yu., Lokalniye metody analiza dinamicheskich sistem, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Локальные методы анализа динамических систем, Ярославль, 2006; [Glyzin S.D. Kolesov A.Yu., Lokalniye metody analiza dinamicheskich sistem, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Мищенко Е.Ф. и др., Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией, Физматлит, Москва, 2005; [Mischenko E.F. et al., Avtovolnovye protsessy v nelineynich sredach c diffuziey, Fizmatlit, Moscow, 2005, (in Russian).]Мищенко Е.Ф. и др., Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией, Физматлит, Москва, 2005; [Mischenko E.F. et al., Avtovolnovye protsessy v nelineynich sredach c diffuziey, Fizmatlit, Moscow, 2005, (in Russian).]Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Локальные бифуркации плоских бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредингера”, Дифференциальные уравнения, 40:9 (2010), 1290–1299; English transl.: Kulikov A. N, Kulikov D. A, “Local bifurcations of plane running waves for the generalized cubic Schrodinger eqiation”, Differential quations, 40:9 (2010), 1299–1308.Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Локальные бифуркации плоских бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредингера”, Дифференциальные уравнения, 40:9 (2010), 1290–1299; English transl.: Kulikov A. N, Kulikov D. A, “Local bifurcations of plane running waves for the generalized cubic Schrodinger eqiation”, Differential quations, 40:9 (2010), 1299–1308.Куликов А.Н., Куликов Д.А., Рудый А.C., “Бифуркации наноструктур под воздействием ионной бомбардировки”, Вестник Удмуртского университета, 4 (2011), 86–99; [Kulikov A. N., Kulikov D. A., Rudyi A. S., “Bifurcation of the nanostructures induced by ion bombardment”, Vestnik Udmurtskogo universiteta, 4 (2011), 86–99, (in Russian).]Куликов А.Н., Куликов Д.А., Рудый А.C., “Бифуркации наноструктур под воздействием ионной бомбардировки”, Вестник Удмуртского университета, 4 (2011), 86–99; [Kulikov A. N., Kulikov D. A., Rudyi A. S., “Bifurcation of the nanostructures induced by ion bombardment”, Vestnik Udmurtskogo universiteta, 4 (2011), 86–99, (in Russian).]Кащенко С.А., “Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных оптических системах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 31:3 (1991), 467–473; [Kashenko S.A., “Asimptotica prostranstvenno-neodnorodnych structur v kogerentnych opticheskich sistemach”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 31:3 (1991), 467–473, (in Russian).]Кащенко С.А., “Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных оптических системах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 31:3 (1991), 467–473; [Kashenko S.A., “Asimptotica prostranstvenno-neodnorodnych structur v kogerentnych opticheskich sistemach”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 31:3 (1991), 467–473, (in Russian).]Белан Е.П., “Вращающиеся волны в параболической задаче с преобразованным аргументом”, Динамические системы, 156 (2000), 160–167; [Belan E. P., “VrachayuchiesyaБелан Е.П., “Вращающиеся волны в параболической задаче с преобразованным аргументом”, Динамические системы, 156 (2000), 160–167; [Belan E. P., “Vrachayuchiesyavolny v parabolicheskoy zadache s preobrazovannym argumentom”, Dinamicheskie sistemy, 156 (2000), 160–167, (in Russian).]volny v parabolicheskoy zadache s preobrazovannym argumentom”, Dinamicheskie sistemy, 156 (2000), 160–167, (in Russian).]Разгулин С.А., “Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 33:1 (1993), 68–80; [Razgulin S. A., “Ob avtokolebaniyach v nelineynich parabolicheskoy zadache s preobrazovannym argumentom”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 33:1 (1993), 68–80, (in Russian).]Разгулин С.А., “Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 33:1 (1993), 68–80; [Razgulin S. A., “Ob avtokolebaniyach v nelineynich parabolicheskoy zadache s preobrazovannym argumentom”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 33:1 (1993), 68–80, (in Russian).]Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры в когерентных нелинейно-оптических системах”, Доклады Академии Наук, 435:1 (2010), 14–17; English transl.: Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Rapidly oscillating spatially inhomogeneous structures in coherent nonlinear optical systems”, Doklady Mathematics, 82:3 (2010), 850–853.Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры в когерентных нелинейно-оптических системах”, Доклады Академии Наук, 435:1 (2010), 14–17; English transl.: Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Rapidly oscillating spatially inhomogeneous structures in coherent nonlinear optical systems”, Doklady Mathematics, 82:3 (2010), 850–853.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.