maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-5-682-710mais-285Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворотаAsymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning PointsКащенкоС. А.KaschenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of science, professor

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия Национальный исследовательский ядерный университет МИФИИ, Каширское ш., 31, 115409, г. Москва, РоссияРоссияYaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000Russian Federation201520102015225682710Copyright © Кащенко С.А., 20152015Кащенко С.А.Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/285

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка с малым множителем при старшей производной. Исследуется вопрос об асимптотике всех собственных значений первой краевой задачи (задачи Дирихле) при стремлении этого множителя к нулю. Показано, что определяющую роль играет поведение коэффициентов уравнения лишь в малых окрестностях точек поворота, то есть таких точек, в которых обращается в нуль коэффициент при первой производной. В качестве основного результата служит теорема о предельных значениях всех собственных чисел первой краевой задачи.

We consider a linear differential equation of second order with a small factor at the highest derivative. We study the problem of the asymptotic behavior of the eigenvalues of the first boundary value problem (task Dirichlet) in situation when the turning points (points where the coefficient at the first derivative equals to zero) exist. It is shown that only the behavior of coefficients of the equation in a small neighborhood of the turning points is essential. The main result is a theorem on the limit values of the eigenvalues of the first boundary value problem.

сингулярно возмущенное уравнениеточки поворотаасимптотикакраевая задачасобственные числаsingularly perturbed equationturning pointsasymptoticboundary value problemeigenvaluesReferencesТихонов А.Н., “Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных”, Мат. сборник, 31:3 (1952), 575–586; [Tikhonov A. N., “Sistemy differentsial’nykh uravneniy, soderzhashchikh malye parametry pri proizvodnykh”, Mat. sbornik, 31:3 (1952), 575–586, (in Russian).]Тихонов А.Н., “Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных”, Мат. сборник, 31:3 (1952), 575–586; [Tikhonov A. N., “Sistemy differentsial’nykh uravneniy, soderzhashchikh malye parametry pri proizvodnykh”, Mat. sbornik, 31:3 (1952), 575–586, (in Russian).]Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В., “Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Сер. Математика. Мат. анал., ВИНИТИ, М., 1969, 5–73; English transl.: Butuzov V. F., Vasil’eva A. B., Fedoryuk M. V., “Asymptotic Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”, 8, 1970, 1–82.Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В., “Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Сер. Математика. Мат. анал., ВИНИТИ, М., 1969, 5–73; English transl.: Butuzov V. F., Vasil’eva A. B., Fedoryuk M. V., “Asymptotic Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”, 8, 1970, 1–82.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., “Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений”, 1973; [Vasil’eva A.B., Butuzov V. F., “Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy”, 1973, (in Russian).]Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., “Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений”, 1973; [Vasil’eva A.B., Butuzov V. F., “Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy”, 1973, (in Russian).]Дородницын А.А., “Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля”, ПММ, 11 (1947), 313–328; [Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskoe reshenie uravneniya Van-der-Polya”, PMM, 11 (1947), 313–328, (in Russian).]Дородницын А.А., “Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля”, ПММ, 11 (1947), 313–328; [Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskoe reshenie uravneniya Van-der-Polya”, PMM, 11 (1947), 313–328, (in Russian).]Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С., “Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным”, ДАН СССР, 102:5 (1955), 889–891; [Mishchenko E. F., Pontryagin L. S., “Periodicheskie resheniya sistem differentsial’nykh uravneniy, blizkie k razryvnym”, DAN SSSR, 102:5 (1955), 889–891, (in Russian).]Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С., “Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным”, ДАН СССР, 102:5 (1955), 889–891; [Mishchenko E. F., Pontryagin L. S., “Periodicheskie resheniya sistem differentsial’nykh uravneniy, blizkie k razryvnym”, DAN SSSR, 102:5 (1955), 889–891, (in Russian).]Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Мир, М., 1970; English transl.: Cole J., Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publishing Company, London, 1968.Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Мир, М., 1970; English transl.: Cole J., Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publishing Company, London, 1968.Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5 (1957), 3–122; [Vishik M. I., Lyusternik L. A., “Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyy sloy dlya lineynykh differentsial’nykh uravneniy s malym parametrom”, UMN, 12:5 (1957), 3–122, (in Russian).]Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5 (1957), 3–122; [Vishik M. I., Lyusternik L. A., “Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyy sloy dlya lineynykh differentsial’nykh uravneniy s malym parametrom”, UMN, 12:5 (1957), 3–122, (in Russian).]Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I”, УМН, 15:3 (1960), 3–80; English transl.: Vishik M. I., Lusternik L. A., “The solution of some perturbation problems for matrices and selfadjoint or non-selfadjoint differential equations. I”, Russian Mathematical Surveys, 15:3 (1960), 1–73.Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I”, УМН, 15:3 (1960), 3–80; English transl.: Vishik M. I., Lusternik L. A., “The solution of some perturbation problems for matrices and selfadjoint or non-selfadjoint differential equations. I”, Russian Mathematical Surveys, 15:3 (1960), 1–73.Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф., “О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, ДАН СССР, 199:6 (1971), 1240–1242; [Kolesov Yu. S., Chaplygin V. F., “O neostsillyatsii resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka”, DAN SSSR, 199:6 (1971), 1240–1242, (in Russian).]Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф., “О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, ДАН СССР, 199:6 (1971), 1240–1242; [Kolesov Yu. S., Chaplygin V. F., “O neostsillyatsii resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka”, DAN SSSR, 199:6 (1971), 1240–1242, (in Russian).]Кащенко С.А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39; [Kashchenko S.A., “Predel’nye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta, 10, 1974, 3–39, (in Russian).]Кащенко С.А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39; [Kashchenko S.A., “Predel’nye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta, 10, 1974, 3–39, (in Russian).]Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958; English transl.: Coddington E., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, London, 1955.Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958; English transl.: Coddington E., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, London, 1955.Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972; [Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineynye differentsial’nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972,Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972; [Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineynye differentsial’nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972,(in Russian).](in Russian).]Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Камке Е., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, М., 1965; [Kamke E., Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam, Nauka, M., 1965, (in Russian).]Камке Е., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, М., 1965; [Kamke E., Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam, Nauka, M., 1965, (in Russian).]Ch. J. de la Vallie-Poussin, “Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordre n”, J. Math. Pure et Appl., 8:1 (1929), 125–144Ch. J. de la Vallie-Poussin, “Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordre n”, J. Math. Pure et Appl., 8:1 (1929), 125–144

The authors declare that there are no conflicts of interest present.