maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-5-711-722mais-286Research ArticleОригинальные статьиArticlesАнализ локальных бифуркаций для уравнения с запаздыванием, зависящим от искомой функцииLocal Bifurcations Analysis of a State-Dependent Delay Differential EquationГолубенецВ. О.GolubenetsV. O.

магистрант

undergraduate student

golubenets2010@yandex.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 РоссияРоссияYaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, RussiaRussian Federation201520102015225711722Copyright © Голубенец В.О., 20152015Голубенец В.О.Golubenets V.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/286

В работе рассматривается уравнение первого порядка с запаздыванием, зависящим от искомойфункции, с нелинейной правой частью. Для этого уравнения предполагаются выполненными усло-вия существования и единственности решения начальной задачи. Ставится задача исследованияповедения решений рассматриваемого уравнения в малой окрестности его нулевого положения рав-новесия. Изучение локальной динамики проводится в зависимости от вещественных параметров 첐коэффициентов тейлоровского разложения правой части. Параметр, являющийся коэффициентомпри линейном члене, имеет два критических значения, определяющих область устойчивости ну-левого положения равновесия. Чтобы исследовать изменение локальной динамики уравнения припереходе данного параметра через критические значения, вводится малый параметр и применяет-ся асимптотический метод нормальных форм. Показывается, что для первого случая в уравненииимеет место бифуркация обмена устойчивостью, а для второго случая 움 суперкритическая бифур-кация Андронова – Хопфа (при выполнении достаточного условия). Для каждого из устойчивыхрежимов получены их асимптотические разложения по соответствующим малым параметрам. За-тем в качестве примера рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием, зависящимот искомой функции. Для этого уравнения бифуркационный параметр имеет единственное кри-тическое значение. С помощью метода нормальных форм устанавливается простое достаточноеусловие возникновения суперкритической бифуркации Андронова – Хопфа в уравнении при пере-ходе параметра через критическое значение.

In this paper, a first-order equation with state-dependent delay and with a nonlinear right-hand side is considered. Conditions of existence and uniqueness of the solution of initial value problem aresupposed to be executed. The task is to study the behavior of solutions of the considered equation in a small neighborhood of its zero equilibrium. Local dynamics depends on real parameters which are coefficients of equation right-hand side decomposition in a Taylor series. The parameter which is a coefficient at the linear part of this decomposition has two critical values which determine a stability domain of zero equilibrium. We introduce a small positive parameter and use the asymtotic method of normal forms in order to investigate local dynamics modifications of the equation near each two critical values. We show that the stability exchange bifurcation occurs in the considered equation near the first of these critical values, and the supercritical Andronov – Hopf bifurcation occurs near the second of them (if the sufficient condition is executed). Asymptotic decompositions according to correspondent small parameters are obtained for each stable solution. Next, a logistic equation with state-dependent delay is considered as an example. The bifurcation parameter of this equation has one critical value. A simple sufficient condition of Andronov – Hopf bifurcation occurence in the considered equation near a critical value is obtained as a result of applying the method of normal forms.

динамические системыуравнения с запаздываниемнепостоянное запаздываниелокальная динамикаустойчивостьбифуркация обмена устойчивостьюбифуркация Андронова – Хопфалогистическое уравнениеdynamical systemsequations with delaystate-dependent delaylocal dynamicsstabilitystability exchange bifurcationAndronov – Hopf bifurcationlogistic equationReferencesВалентайн Р.С., “Экономичность, устойчивость и работоспособность ЖРД”, Вопросы ракетной техники, 1:217 (1973); [Valentayn R. S., “Ekonomichnost, ustoychivost i rabotosposobnost ZhRD”, Voprosy raketnoy tekhniki, 1:217 (1973), (in Russian).]Валентайн Р.С., “Экономичность, устойчивость и работоспособность ЖРД”, Вопросы ракетной техники, 1:217 (1973); [Valentayn R. S., “Ekonomichnost, ustoychivost i rabotosposobnost ZhRD”, Voprosy raketnoy tekhniki, 1:217 (1973), (in Russian).]Sabersky R. H., “Effect of wave propagation in feed lines on low frequency rocket instability”, Jet Propulsion, 24:172 (1964).Sabersky R. H., “Effect of wave propagation in feed lines on low frequency rocket instability”, Jet Propulsion, 24:172 (1964).Crocco L., Harrje D. T., Reardon F. H., “Transverse combustio instability in liquid propellant rocket motors”, ARS Journal, 32:3 (1962).Crocco L., Harrje D. T., Reardon F. H., “Transverse combustio instability in liquid propellant rocket motors”, ARS Journal, 32:3 (1962).Reardon F. H., Crocco L., Harrje D. T., “Velocity effects in transverse mode liquid propellant rocket combustion instability”, AIAA Journal, 2:9 (1964).Reardon F. H., Crocco L., Harrje D. T., “Velocity effects in transverse mode liquid propellant rocket combustion instability”, AIAA Journal, 2:9 (1964).Колесов Ю.С., Швитра Д.И., “Математическое моделирование процесса горения в камере жидкостного ракетного двигателя”, Литовский математический сборник, 15:4 (1975); [Kolesov Yu. S., Shvitra D. I., “Matematicheskoe modelirovanie protsessa goreniya v kamere zhidkostnogo raketnogo dvigatelya”, Litovskiy matematicheskiy sbornik, 15:4 (1975), (in Russian).]Колесов Ю.С., Швитра Д.И., “Математическое моделирование процесса горения в камере жидкостного ракетного двигателя”, Литовский математический сборник, 15:4 (1975); [Kolesov Yu. S., Shvitra D. I., “Matematicheskoe modelirovanie protsessa goreniya v kamere zhidkostnogo raketnogo dvigatelya”, Litovskiy matematicheskiy sbornik, 15:4 (1975), (in Russian).]Zager M. G., Schlosser P. M., Tran H. T., “A delayed nonlinear PBPK model for genistein dosimetry in rats”, Bulletin of Mathematical Biology, 69 (2007), 93–117.Zager M. G., Schlosser P. M., Tran H. T., “A delayed nonlinear PBPK model for genistein dosimetry in rats”, Bulletin of Mathematical Biology, 69 (2007), 93–117.Hu Q., Wu J., “Global Hopf bifurcation for differential equations with state-dependent delay”, Journal of Differential Equations, 248:12 (2010), 2801–2840.Hu Q., Wu J., “Global Hopf bifurcation for differential equations with state-dependent delay”, Journal of Differential Equations, 248:12 (2010), 2801–2840.Brokate M., Colonius F., “Linearizing equations with state-dependent delays”, Appl. Math. Optim., 21 (1990), 45–52.Brokate M., Colonius F., “Linearizing equations with state-dependent delays”, Appl. Math. Optim., 21 (1990), 45–52.Cooke K. L., Huang W. Z., “On the problem of linearization for state-dependent delay differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 124:5 (1996), 1417–1426.Cooke K. L., Huang W. Z., “On the problem of linearization for state-dependent delay differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 124:5 (1996), 1417–1426.Hartung F., Turi J., “On differentiability of solutions with respect to parameters in state-dependent delay equations”, J. Differential Equations, 135 (1997), 192–237.Hartung F., Turi J., “On differentiability of solutions with respect to parameters in state-dependent delay equations”, J. Differential Equations, 135 (1997), 192–237.Driver R. D., “Existence theory for a delay-differential system”, Contrib. Different. Equat., 1:3 (1963).Driver R. D., “Existence theory for a delay-differential system”, Contrib. Different. Equat., 1:3 (1963).Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, Наука, М., 1971; English transl.: Elsgolts L. E., Norkin S. B., Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, 1973.Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, Наука, М., 1971; English transl.: Elsgolts L. E., Norkin S. B., Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, 1973.Halanay A., Yorke J., “Some new results and problems in the theory of differential-delay equations”, SIAM Rev., 13:1 (1971).Halanay A., Yorke J., “Some new results and problems in the theory of differential-delay equations”, SIAM Rev., 13:1 (1971).Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием, зависящим от искомой функции”, Доклады академии наук, 464:5 (2015), 521–524; English transl.: Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Local Dynamics of an Equation with a Large State Dependent Delay”, Doklady Mathematics, 92:2 (2015), 1–4.Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием, зависящим от искомой функции”, Доклады академии наук, 464:5 (2015), 521–524; English transl.: Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Local Dynamics of an Equation with a Large State Dependent Delay”, Doklady Mathematics, 92:2 (2015), 1–4.Кащенко С.А., “Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:3 (2012), 32; English transl.: Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 470–494.Кащенко С.А., “Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:3 (2012), 32; English transl.: Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 470–494.Кащенко Д.С., Кащенко И.С., Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием: учебное пособие, Ярославль, 2006; [Kashchenko D. S., Kashchenko I. S., Dinamika uravneniy pervogo poryadka s zapazdyvaniem: uchebnoe posobie, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Кащенко Д.С., Кащенко И.С., Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием: учебное пособие, Ярославль, 2006; [Kashchenko D. S., Kashchenko I. S., Dinamika uravneniy pervogo poryadka s zapazdyvaniem: uchebnoe posobie, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Брюно А.Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979; English transl.: Bryuno A. D., Local Methods in Nonlinear Differential Equations, Springer, 1989.Брюно А.Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979; English transl.: Bryuno A. D., Local Methods in Nonlinear Differential Equations, Springer, 1989.Marsden Dzh., Mak-Kraken M., Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya, Mir, M., 1980.Marsden Dzh., Mak-Kraken M., Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya, Mir, M., 1980.Hartman P., Ordinary Differential Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.Hartman P., Ordinary Differential Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.Yang Kuang, Delay Differential Equations, With Applications in Population Dynamics, Academic Press, 1993.Yang Kuang, Delay Differential Equations, With Applications in Population Dynamics, Academic Press, 1993.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.