доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической информатики
ScD, professor
Напомним определение сингулярной функции Лебега. Пусть в результате бросания несимметричной монеты с вероятностью p выпадает решка, а с вероятностью q = 1 − p – орел. Пусть бинарное разложение ξ ∈ [0, 1]: ξ =∑∞k=1 ck2−k задается бросанием монеты бесконечно много раз, т.е. ck = 1, если результат k-го бросания – решка, и ck = 0, если – орел. Сингулярная функция Лебега L(t) является функцией распределения случайной величины ξ: L(t) = Prob{ξ < t}. Хорошо известно, что L(t) строго возрастает и ее производная равна нулю почти всюду (p ̸= q). Моменты сингулярной функции Лебега определяются как Mn = Eξn. Основной результат работы – следующая оценка: Mn = O(nlog2 p).
Recall Lebesgue’s singular function. Imagine flipping a biased coin with probability p of heads and probability q = 1 − p of tails. Let the binary expansion of ξ ∈ [0, 1]: ξ = ∑∞ k=1 ck2−k be determined by flipping the coin infinitely many times, that is, ck = 1 if the k-th toss is heads and ck = 0 if it is tails. We define Lebesgue’s singular function L(t) as the distribution function of the random variable ξ: L(t) = Prob{ξ < t}. It is well-known that L(t) is strictly increasing and its derivative is zero almost everywhere (p ̸= q). The moments of Lebesque’ singular function are defined as Mn = Eξn. The main result of this paper is the following: Mn = O(nlog2 p).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.