maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-1-12-22mais-303Research ArticleОригинальные статьиArticlesПродолжение решения на границе разрыва как решение задачи усредненной оптимизацииSolution Continuation on a Discontinuity SetЦирлинА. М.TsirlinA. M.

д-р техн. наук, профессор

Prof,

tsirlin@sarc.botik.ruИнститут программных систем им. А.К. Айламазяна РАН ул. Петра Первого, 4а, с. Веськово, Переславский р-он Ярославская обл. 152020 РоссияРоссияProgram Systems Institute of RAS Petra 1 str., 4a, Veskovo Jaroslavskoy, 152020, RussiaRussian Federation2016200220162311222Copyright © Цирлин А.М., 20162016Цирлин А.М.Tsirlin A.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/303

Движение объекта, характеризующегося обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) с разрывными правыми частями вдоль поверхности разрыва, называют скользящим режимом. Требуется найти связь правой части уравнения скольжения с характеристиками системы (продолжить решение системы на поверхности разрыва). В статье предложено продолжение, базирующееся на решении задачи усредненной оптимизации. Показано, что для известных примеров решение задачи усредненной оптимизации приводит к результатам, совпадающим с методом А.Ф. Филиппова, и позволяет расширить эти методы на широкий класс многомерных задач. Изложены условия оптимальности усредненной задачи нелинейного программирования и примеры их использования для случаев обычного и вырожденного решения.

The movement of an object characterized by ordinary differential equations (ODE) with discontinuous right-hand sides along the surface of a gap is called a sliding mode. It is required to find the connection of the right-slip characteristics of the system (the system to continue the solution on the surface of the gap). The article prompted a sequel based on the solution of the averaged optimization. It is shown that for the known examples of methods for solving optimization averaged lead to results coinciding with the method of A.F. Filippov and allow to extend these techniques to a wide class of multidimensional problems. Optimality conditions set forth averaged nonlinear programming and examples of their use in the case of ordinary and degenerate solutions.

дифференциальные уравнения с разрывными правыми частямискользящие режимыусредненная оптимизацияdifferential equations with discontinuous velocitysliding modesaveraged optimizationReferencesBernardo M. di, Kowalczyk P., Nordmark A., “Sliding bifurcations: a novel mechanism for the sudden onset 0f of chaos in dry friction oscillators”, Int. J. Bif.Chaos, 2003, № 10, 2935–2948.Bernardo M. di, Kowalczyk P., Nordmark A., “Sliding bifurcations: a novel mechanism for the sudden onset 0f of chaos in dry friction oscillators”, Int. J. Bif.Chaos, 2003, № 10, 2935–2948.Edwards C., Spurgeon S. K., Sliding Mode Control, Teylor and Francis, 1998.Edwards C., Spurgeon S. K., Sliding Mode Control, Teylor and Francis, 1998.Haek O., “Discontinuous differential equations”, J. Differential Equations, 1979, № 2, 149– 170.Haek O., “Discontinuous differential equations”, J. Differential Equations, 1979, № 2, 149– 170.Jefrrey M. R., “Dynamics at a switcing intersection hierarchy,isonomy, and multiple-sliding”, Physica D, 2014, № 1, 34–45.Jefrrey M. R., “Dynamics at a switcing intersection hierarchy,isonomy, and multiple-sliding”, Physica D, 2014, № 1, 34–45.Jefrrey M. R., “Dynamimics at a switching intersection: hierarchy, isonomy, and multiple–Jefrrey M. R., “Dynamimics at a switching intersection: hierarchy, isonomy, and multiple–sliding”, SIADS, 2014, № 3, 1082–1105.sliding”, SIADS, 2014, № 3, 1082–1105.Piltz S. H. , Porter M. A., Maini P. K., “Prey switching with a linear preference trade-off”, SIAM J. Appl. Math., 2014, № 2, 658–682.Piltz S. H. , Porter M. A., Maini P. K., “Prey switching with a linear preference trade-off”, SIAM J. Appl. Math., 2014, № 2, 658–682.Sotomayor J., Teixeira M. A., “Regularization of diskontinuos vector fields”, Proceedings of the International Conference on Differential Equations (Lisboa), 1996, 207–223.Sotomayor J., Teixeira M. A., “Regularization of diskontinuos vector fields”, Proceedings of the International Conference on Differential Equations (Lisboa), 1996, 207–223.Teixeira M. A., Silva P. R. da, “Regularization and singular perturbation techniques for non-smooth systems”, Physica D, 2012, № 22, 1948–1955.Teixeira M. A., Silva P. R. da, “Regularization and singular perturbation techniques for non-smooth systems”, Physica D, 2012, № 22, 1948–1955.Kuznetsiv Yu. A., Rinaldi S., Gragani A., “One-parametr bifurcations in planar Filippov systems”, Int. J. Bif. Chaos, 2003, № 13, 2157–2188.Kuznetsiv Yu. A., Rinaldi S., Gragani A., “One-parametr bifurcations in planar Filippov systems”, Int. J. Bif. Chaos, 2003, № 13, 2157–2188.Varius A., “Special issue on dynamics and bifurcations of nonsmooth systems”, Physica, 2012, № 22, 1825–2082.Varius A., “Special issue on dynamics and bifurcations of nonsmooth systems”, Physica, 2012, № 22, 1825–2082.Уткин В.И., “Короткий комментарий к методу А.Ф. Филиппова продолжения решения на границе разрыва”, АиТ, 2015, № 5, 165–174; Utkin V. I., “Brief Comments for the Continuation Method by A.F. Filippov for Solution Continuation on a Discontinuity Set”,Уткин В.И., “Короткий комментарий к методу А.Ф. Филиппова продолжения решения на границе разрыва”, АиТ, 2015, № 5, 165–174; Utkin V. I., “Brief Comments for the Continuation Method by A.F. Filippov for Solution Continuation on a Discontinuity Set”,Autom. Remote Control, 2015, № 5, 933–942.Autom. Remote Control, 2015, № 5, 933–942.Филиппов А.Ф., “Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью”, Мат. сборник, 1960, 99–128; [Filippov A. F., “Differentsialnye uravneniya s razryvnoy pravoy chastyu”, Mat. sbornik, 1960, 99–128, (in Russian).]Филиппов А.Ф., “Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью”, Мат. сборник, 1960, 99–128; [Filippov A. F., “Differentsialnye uravneniya s razryvnoy pravoy chastyu”, Mat. sbornik, 1960, 99–128, (in Russian).]Filippov A. F., Differential Equations with Discontinuous Righhand Sides, Kluwer Academic Publ., Dortrecht, 1988, (Russian, 1985).Filippov A. F., Differential Equations with Discontinuous Righhand Sides, Kluwer Academic Publ., Dortrecht, 1988, (Russian, 1985).Уткин В.И., Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления, Наука, М., 1981; [Utkin V. I., Skolzyashchie rezhimy v zadachakh optimizatsii i upravleniya, Nauka, M., 1981, (in Russian).]Уткин В.И., Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления, Наука, М., 1981; [Utkin V. I., Skolzyashchie rezhimy v zadachakh optimizatsii i upravleniya, Nauka, M., 1981, (in Russian).]Utkin V. I., “Variable structure systems with sliding modes”, IEEE Tras. Automat. Contr., 1977, № 22.Utkin V. I., “Variable structure systems with sliding modes”, IEEE Tras. Automat. Contr., 1977, № 22.Utkin V. I., Sliding modes in control and optimization, Springer–Verlag, 1992.Utkin V. I., Sliding modes in control and optimization, Springer–Verlag, 1992.Неймарк Ю.И., “О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования”, АиТ, 1957, № 1; [Neymark J. I., “O skolzjashem regime releynix sistem avtomatisheskogo regulirovanija”, Avtomatika i telemekhanika, 1957, № 1, (in Russian).]Неймарк Ю.И., “О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования”, АиТ, 1957, № 1; [Neymark J. I., “O skolzjashem regime releynix sistem avtomatisheskogo regulirovanija”, Avtomatika i telemekhanika, 1957, № 1, (in Russian).]Цыпкин Я.З., Теория систем автоматического регулирования, Гостехиздат, М., 1955; [Zipkin J. Z., Teorija sistem avtomatisheskogo regulirovanija, Gostexizdat, M., 1955, (in Russian).]Цыпкин Я.З., Теория систем автоматического регулирования, Гостехиздат, М., 1955; [Zipkin J. Z., Teorija sistem avtomatisheskogo regulirovanija, Gostexizdat, M., 1955, (in Russian).]Цирлин А.М., Методы усредненной оптимизации и их приложения, Физматлит, М., 1977; [Tsirlin A. M., Metody usrednennoy optimizatsii i ikh prilozheniya, Fizmatlit, M., 1977, (in Russian).]Цирлин А.М., Методы усредненной оптимизации и их приложения, Физматлит, М., 1977; [Tsirlin A. M., Metody usrednennoy optimizatsii i ikh prilozheniya, Fizmatlit, M., 1977, (in Russian).]Розоноэр Л.И., Цирлин А.М., “Оптимальное управление термодинамическими системами”, АиТ, 1983, № 1–3; Rozonoer L. I., Tsirlin A. M., “Optimal control of thermodynamic systems”, Autom. Remote Control., 1983, № 1–3.Розоноэр Л.И., Цирлин А.М., “Оптимальное управление термодинамическими системами”, АиТ, 1983, № 1–3; Rozonoer L. I., Tsirlin A. M., “Optimal control of thermodynamic systems”, Autom. Remote Control., 1983, № 1–3.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.