maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-1-41-60mais-305Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотические разложения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворотаAsymptotic Expansions of Eigenvalues of the First Boundary Problem for Singularly Perturbed Second Order Differential Equation with Turning PointsКащенкоС. А.KashchenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of science, professor

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия Национальный исследовательский ядерный университет МИФИИ, Каширское ш., 31, 115409, г. Москва, РоссияРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, RussiaRussian Federation2016200220162314160Copyright © Кащенко С.А., 20162016Кащенко С.А.Kashchenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/305

Для сингулярно возмущенных уравнений второго порядка исследована зависимость от малого параметра при старшей производной собственных значений первой краевой задачи. Основное предположение состоит в том, что коэффициент при первой производной уравнения является знаком переменной. Это приводит к появлению так называемых точек поворота. В этом случае удалось построить асимптотические разложения по малому параметру всех собственных значений рассматриваемой краевой задачи. Оказалось, что эти разложения определяются поведением коэффициентов только в окрестности точек поворота

For singularly perturbed second order equations the dependence of eigenvalues of the first boundary problem on a small parameter at the highest derivative is studied. The main assumption is that the coefficient at the first derivative in the equation is the sign of the variable. This leads to the emerging of so-called turning points. Asymptotic expansions on the small parameter are obtained for all eigenvalues of the considered boundary problem. It turns out that the expansions are defined by the behavior of coefficients in a neighborhood of turning points only

сингулярно возмущенное уравнениеточки поворотаасимптотикакраевая задачасобственные числаsingularly perturbed equationturning pointsasymptoticboundary value problemeigenvaluesReferencesКащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973; [Vasil’eva A.B., Butuzov V. F., Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy, Nauka, M., 1973, (in Russian).]Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973; [Vasil’eva A.B., Butuzov V. F., Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy, Nauka, M., 1973, (in Russian).]Дородницын А.А., “Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля”, ПММ, 11 (1947), 313–328; [Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskoe reshenie uravneniya Van-der- Polya”, PMM, 11 (1947), 313–328, (in Russian).]Дородницын А.А., “Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля”, ПММ, 11 (1947), 313–328; [Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskoe reshenie uravneniya Van-der- Polya”, PMM, 11 (1947), 313–328, (in Russian).]Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Мир, М., 1970; English transl.: Cole J., Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publishing Company, London, 1968.Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Мир, М., 1970; English transl.: Cole J., Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publishing Company, London, 1968.Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5 (1957), 3–122; [Vishik M. I., Lyusternik L. A., “Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyy sloy dlya lineynykh differentsialnykh uravneniy s malym parametrom”, UMN, 12:5 (1957), 3–122, (in Russian).]Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5 (1957), 3–122; [Vishik M. I., Lyusternik L. A., “Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyy sloy dlya lineynykh differentsialnykh uravneniy s malym parametrom”, UMN, 12:5 (1957), 3–122, (in Russian).]Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф., “О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, ДАН СССР, 199:6 (1971), 1240–1242; [Kolesov Yu. S., Chaplygin V. F., “O neostsillyatsii resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka”, DAN SSSR, 199:6 (1971), 1240–1242, (in Russian).]Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф., “О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, ДАН СССР, 199:6 (1971), 1240–1242; [Kolesov Yu. S., Chaplygin V. F., “O neostsillyatsii resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka”, DAN SSSR, 199:6 (1971), 1240–1242, (in Russian).]Ch. J. de la Vallie-Poussin, “Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordren”, J. Math. Pure et Appl., 8:1 (1929), 125–144.Ch. J. de la Vallie-Poussin, “Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordren”, J. Math. Pure et Appl., 8:1 (1929), 125–144.Кащенко С.А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39; [Kashchenko S.A., “Predelnye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta,Кащенко С.А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39; [Kashchenko S.A., “Predelnye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta,, 1974, 3–39, (in Russian).], 1974, 3–39, (in Russian).]Кащенко С.А., “Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Вестник Ярославского университета, 13, Ярославль, 1975, 20–83; [Kashchenko S. A., “Asimptotika sobstvennykh znacheniy periodicheskoy i neperiodicheskoy krayevykh zadach dlya singulyarno vozmushchennykh differentsialnykh uravneniy vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vestnik Yaroslavskogo universiteta, 13, Yaroslavl, 1975, 20–83, (in Russian).]Кащенко С.А., “Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Вестник Ярославского университета, 13, Ярославль, 1975, 20–83; [Kashchenko S. A., “Asimptotika sobstvennykh znacheniy periodicheskoy i neperiodicheskoy krayevykh zadach dlya singulyarno vozmushchennykh differentsialnykh uravneniy vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vestnik Yaroslavskogo universiteta, 13, Yaroslavl, 1975, 20–83, (in Russian).]Кащенко C.А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 682–710; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:5 (2015), 682–710, (in Russian).]Кащенко C.А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 682–710; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:5 (2015), 682–710, (in Russian).]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.