maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-1-61-85mais-306Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотические разложения собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворотаAsymptotic Expansions of Eigenvalues of Periodic and Antiperiodic Boundary Problems for Singularly Perturbed Second Order Differential Equation with Turning PointsКащенкоС. А.KashchenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of science, professor

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия Национальный исследовательский ядерный университет МИФИИ, Каширское ш., 31, 115409, г. Москва, РоссияРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, RussiaRussian Federation2016200220162316185Copyright © Кащенко С.А., 20162016Кащенко С.А.Kashchenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/306

Исследуется асимптотическое поведение всех собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для уравнения второго порядка с малым множителем при старшей производной. Основное предположение состоит в том, что коэффициент при первой производной является знаком переменной, то есть имеются точки поворота. Разработан алгоритм вычисления всех коэффициентов асимптотических рядов для каждого из рассматриваемых собственных значений. Как оказалось, значения всех этих коэффициентов определяются по значениям коэффициентов исходного уравнения только в окрестности точек поворота. Получена асимптотика длин ляпуновских зон устойчивости и неустойчивости. В частности, решена задача об устойчивости решений уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами и малым параметром при старшей производной.

For a second order equation with a small factor at the highest derivative the asymptotic behavior of all eigenvalues of periodic and antiperiodic problems is studied. The main assumption is that the coefficient at the first derivative in the equation is the sign of the variable so that turning points exist an algorithm for computing all coefficients of asymptotic series for every considered eigenvalue is developed. It turns out that the values of these coefficients are defined by coefficient values of the original equation only in a neighborhood of turning points. Asymptotics for the length of Lyapunov zones of stability and instability was obtained. In particular, the problem of stability of solutions of second order equations with periodic coefficients and small parameter at the highest derivative was solved

сингулярно возмущенное уравнениеточки поворотаасимптотикакраевая задачасобственные числаsingularly perturbed equationturning pointsasymptoticboundary value problemeigenvaluesReferencesКоддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958; English transl.: Coddington E., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, London, 1955.Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958; English transl.: Coddington E., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, London, 1955.Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972; [Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineynye differentsial’nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972, (in Russian).]Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972; [Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineynye differentsial’nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972, (in Russian).]Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]Кащенко C.А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 682–710; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:5 (2015), 682–710, (in Russian).]Кащенко C.А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 682–710; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:5 (2015), 682–710, (in Russian).]Кащенко C.А., “Асимптотические разложения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 23:1 (2016), 41–60; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:1 (2016), 41–60, (in Russian).]Кащенко C.А., “Асимптотические разложения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 23:1 (2016), 41–60; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:1 (2016), 41–60, (in Russian).]Кащенко С.А., Колесов Ю.С., “Критерий устойчивости решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами”, УМН, XXIX:4 178 (1974), 171–172; [Kashchenko S. A., Kolesov Y.S., “Kriteriy ustoychivosti resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsiyentami”, UMN, XXIX:4 178 (1974), 171–172, (in Russian).]Кащенко С.А., Колесов Ю.С., “Критерий устойчивости решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами”, УМН, XXIX:4 178 (1974), 171–172; [Kashchenko S. A., Kolesov Y.S., “Kriteriy ustoychivosti resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsiyentami”, UMN, XXIX:4 178 (1974), 171–172, (in Russian).]Колесов Ю.С., “Периодические решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка”, Тр. Моск. мат. общ., 21 (1970), 103–134; [Kolesov Y.S., “Periodicheskiye resheniya kvazilineynykh parabolicheskikh uravneniy vtorogo poryadka”, Tr. Mosk. mat. obshch., 21 (1970), 103–134, (in Russian).]Колесов Ю.С., “Периодические решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка”, Тр. Моск. мат. общ., 21 (1970), 103–134; [Kolesov Y.S., “Periodicheskiye resheniya kvazilineynykh parabolicheskikh uravneniy vtorogo poryadka”, Tr. Mosk. mat. obshch., 21 (1970), 103–134, (in Russian).]Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969; [Naymark M. A., Lineynyye differentsial’nyye operatory, Nauka, M., 1969, (in Russian).]Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969; [Naymark M. A., Lineynyye differentsial’nyye operatory, Nauka, M., 1969, (in Russian).]Чаплыгин В.Ф., “Положительные периодические решения сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка”, Тр. научно-исслед. ин-та математики ВГУ, 2 (1970), 43–46; [Chaplygin V. F., “Polozhitel’nyye periodicheskiye resheniya singulyarno vozmushchennykh nelineynykh differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka”, Tr. nauchno-issled. in-ta matematiki VGU, 2 (1970), 43–46, (in Russian).]Чаплыгин В.Ф., “Положительные периодические решения сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка”, Тр. научно-исслед. ин-та математики ВГУ, 2 (1970), 43–46; [Chaplygin V. F., “Polozhitel’nyye periodicheskiye resheniya singulyarno vozmushchennykh nelineynykh differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka”, Tr. nauchno-issled. in-ta matematiki VGU, 2 (1970), 43–46, (in Russian).]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.