maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-2-164-172mais-326Research ArticleОригинальные статьиArticlesО группе Брауэра арифметической модели многообразия над глобальным полем положительной характеристикиOn the Brauer Group of an Arithmetic Model of a Variety over a Global Field of Positive CharacteristicПрохороваТ. В.ProkhorovaT. V.

канд. физ.-мат. наук 

PhD

tvprokhorova@mail.ruВладимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, ул. Горького, 87, г. Владимир, 600000, РоссияРоссияA. G. and N. G. Stoletov Vladimir State University, Gorky str., 87, Vladimir, 600000, RussiaRussian Federation201620042016232164172Copyright © Прохорова Т.В., 20162016Прохорова Т.В.Prokhorova T.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/326

Пусть V – гладкое проективное многообразие над глобальным полем k = κ(C) рациональных функций на гладкой проективной кривой C над конечным полем Fq характеристики p. Предположим, что существует проективный плоский Fq-морфизм π : X → C, где X – гладкое проективное многообразие, общий схемный слой морфизма π изоморфен многообразию V (мы называем морфизм π : X → C арифметической моделью многообразия V ). М. Артин высказал гипотезу о конечности группы Брауэра Br(X), классифицирующей пучки алгебр Адзумаи на X по модулю подобия. Хорошо известно, что группа Br(X) содержится в когомологической группе Брауэра Br′(X)=H2(X,G ). et m По определению, non−p – компонента когомологической группы Брауэра Br′(X) совпадает с прямой суммой l-примарных компонент группы Br′(X) по всем простым числам l, отличным от характеристики p. Известно, что структура k-многообразия на V задает канонический морфизм групп Br(k) → Br′(V ). В работе доказана конечность non −p – компоненты когомологической группы Брауэра Br′ (X ) многообразия X при условии, что факторгруппа [Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p) конечная. В частности, если V – поверхность типа K 3 (другими словами, V – гладкая проективная односвязная поверхность над полем k и канонический класс поверхности V тривиален: Ω2V = OV ), причем характеристика основного поля p > 2, то по теореме Скоробогатова — Зархина фактор-группа [Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p) конечна, так что в этом случае группы Br′(X)(non −p) и Br(X)(non−p) конечные. 

Let V be a smooth projective variety over a global field k = κ(C) of rational functions on a smooth projective curve C over a finite field Fq of characteristic p. Assume that there is a projective flat Fq-morphism π : X → C, where X is a smooth projective variety and the generic scheme fiber of π is isomorphic to a variety V (we call π : X → C an arithmetic model of a variety V ). M. Artin conjectured the finiteness of the Brauer group Br(X) classifying sheaves of Azumaya algebras on X modulo similitude. It is well known that the group Br(X) is contained in the cohomological Brauer group Br′(X)=H2(X,G ). et m By definition, the non−p component of the cohomological Brauer group Br′(X) coincides with the direct sum of the l-primary components of the group Br′(X) for all prime numbers l different from the characteristic p. It is known that the structure of k-variety on V yields the canonical morphism of the groups Br(k) → Br′(V ). The finiteness of the non−p component of the cohomological Brauer group Br′(X) of a variety X has been proved if [Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p) is finite. In particular, if V is a K 3 surface (in other words, V is a smooth projective simply connected surface over a field k and the canonical class of a surface of V is trivial: Ω2V = OV ) and the characteristic of the ground field p > 2, then, by the Skorobogatov – Zarhin theorem, [Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p) is finite, so in this case the groups Br′(X)(non−p) and Br(X)(non−p) are finite. 

группа Брауэраарифметическая модельK 3–поверхностьBrauer grouparithmetic modelK 3 surfaceReferencesSkorobogatov A.N., Zarhin Yu.G., “A finiteness theorem for the Brauer group of K3 surfaces in odd characteristic”, arXiv: arXiv: 1403.0849v1 [math.AG] 4 Mar 2014, 1–10.Skorobogatov A.N., Zarhin Yu.G., “A finiteness theorem for the Brauer group of K3 surfaces in odd characteristic”, arXiv: arXiv: 1403.0849v1 [math.AG] 4 Mar 2014, 1–10.Танкеев С.Г., “О конечности группы Брауэра арифметической схемы”, Матем. заметки, 95:1 (2014), 136–149; [Tankeev S.G., “On the finiteness of the Brauer group of an arithmetic scheme”, Math. Notes, 95:1 (2014), 136–149 ], (in Russian)].Танкеев С.Г., “О конечности группы Брауэра арифметической схемы”, Матем. заметки, 95:1 (2014), 136–149; [Tankeev S.G., “On the finiteness of the Brauer group of an arithmetic scheme”, Math. Notes, 95:1 (2014), 136–149 ], (in Russian)].Colliot-Th ́el`ene J.-L., Skorobogatov A.N., Swinnerton-Dyer P., “Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points”, Invent. Math., 134:3 (1998), 579–650.Colliot-Th ́el`ene J.-L., Skorobogatov A.N., Swinnerton-Dyer P., “Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points”, Invent. Math., 134:3 (1998), 579–650.Милн Дж., Этальные когомологии, Мир, М., 1983; [Milne J.S., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980].Милн Дж., Этальные когомологии, Мир, М., 1983; [Milne J.S., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980].Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961; [Godement R., Topologie alg ́ebrique et th ́eorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1958].Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961; [Godement R., Topologie alg ́ebrique et th ́eorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1958].Lang S., Weil A., “Number of points of varieties in finite fields”, Amer. J. Math., 76:4 (1954), 819–827.Lang S., Weil A., “Number of points of varieties in finite fields”, Amer. J. Math., 76:4 (1954), 819–827.Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической схемы. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 155–176; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic scheme. II”, Izv. Math., 67:5 (2003), 1007–1029].Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической схемы. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 155–176; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic scheme. II”, Izv. Math., 67:5 (2003), 1007–1029].Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M.F., Macdonald I.G., Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M.F., Macdonald I.G., Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].Skorobogatov A. N., “Descent on fibrations over the projective line”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 905–923.Skorobogatov A. N., “Descent on fibrations over the projective line”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 905–923.Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, Элементы математики, Наука, М., 1965; [Bourbaki N., E ́l ́ements de Math ́ematique. Alg ́ebre, livre II, Hermann, Paris, 1963].Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, Элементы математики, Наука, М., 1965; [Bourbaki N., E ́l ́ements de Math ́ematique. Alg ́ebre, livre II, Hermann, Paris, 1963].Алгебраическая теория чисел, ред. Касселс Дж., Фр ̈елих А., Мир, М., 1969; [ Algebraic number theory, Proc. Internat. Conf. Brighton, 1965, eds. Cassels G. W. S., Fr ̈olich A., Academic Press, London, and Thompson, Washington, DC, 1967].Алгебраическая теория чисел, ред. Касселс Дж., Фр ̈елих А., Мир, М., 1969; [ Algebraic number theory, Proc. Internat. Conf. Brighton, 1965, eds. Cassels G. W. S., Fr ̈olich A., Academic Press, London, and Thompson, Washington, DC, 1967].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.