maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-3-248-258mais-339Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотика, устойчивость и область притяжения периодического решения сингулярно возмущённой параболической задачи с двукратным корнем вырожденного уравненияAsymptotics, Stability and Region of Attraction of a Periodic Solution to a Singularly Perturbed Parabolic Problem in Case of a Multiple Root of the Degenerate EquationБутузовВ. Ф.ButuzovV. F.

119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, доктор физ.-мат. наук, профессор

119991, Moscow, Leninskie Gory, MSU, faculty of physics, Professor

butuzov@phys.msu.ruНефедовН. Н.NefedovN. N.

119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет,  доктор физ.-мат. наук, профессор,

119991, Moscow, Leninskie Gory, MSU, faculty of physics, Professor

nefedov@phys.msu.ruРекеЛ.ReckeL.

доктор физ.-мат. наук, профессор

Professor

recke@mathematik.hu-berlin.deШнайдерК. Р.SchneiderK.

доктор физ.-мат. наук, профессор

Professor

schneider@wias-berlin.deМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationHU Berlin, Institut fuЁr Mathematik, Rudower Chaussee, Berlin, GermanyГерманияHU Berlin, Institut fuЁr Mathematik, Rudower Chaussee, Berlin, GermanyGermanyWeierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics, Mohrenstr. 39, 10117 Berlin, GermanyГерманияWeierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics, Mohrenstr. 39, 10117 Berlin, GermanGermany201620062016233248258Copyright © Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Реке Л., Шнайдер К.Р., 20162016Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Реке Л., Шнайдер К.Р.Butuzov V.F., Nefedov N.N., Recke L., Schneider K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/339

Для сингулярно возмущённой параболической задачи с краевыми условиями Дирихле построено и обосновано асимптотическое разложение периодического по времени решения с пограничными слоями вблизи концов отрезка в случае, когда вырожденное уравнение имеет двукратный корень. Поведение решения в пограничных слоях и сам алгоритм построения асимптотики существенно отличаются от случая однократного корня вырожденного уравнения. Исследован также вопрос об устойчивости периодического решения и области его притяжения.

For a singularly perturbed parabolic problem with Dirichlet conditions we prove the existence of a solution periodic in time and with boundary layers at both ends of the space interval in the case that the degenerate equation has a double root. We construct the corresponding asymptotic expansion in a small parameter. It turns out that the algorithm of the construction of the boundary layer functions and the behavior of the solution in the boundary layers essentially differ from that ones in case of a simple root. We also investigate the stability of this solution and the corresponding region of attraction.

сингулярно возмущенные уравнения реакция-диффузияасимптотические приближенияустойчивость по Ляпуновупериодические решенияпограничные слоиобласть притяженияsingularly perturbed reaction-diffusion equationasymptotic approximationperiodic solutionboundary layersLyapunov stabilityregion of attractionReferencesA.B. Vasil’eva, V. F. Butuzov, Asymptotic methods in the theory of singular perturbations, in Russian, Vyss. Shkola, Moscow, 1990.A.B. Vasil’eva, V. F. Butuzov, Asymptotic methods in the theory of singular perturbations, in Russian, Vyss. Shkola, Moscow, 1990.A. B. Vasil’eva, V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, “Contrast structures in singularly perturbed problems (in Russian)”, Fundamentalnaja i prikladnaja matematika, 4:3 (1998), 799-851.A. B. Vasil’eva, V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, “Contrast structures in singularly perturbed problems (in Russian)”, Fundamentalnaja i prikladnaja matematika, 4:3 (1998), 799-851.V. F. Butuzov, “On periodic solutions of singularly perturbed parabolic problems in the case of multiple roots of the degenerate equation, in Russian”, Zh. Vych. Math. Math. Phys., 51:1 (2011), 44-55.V. F. Butuzov, “On periodic solutions of singularly perturbed parabolic problems in the case of multiple roots of the degenerate equation, in Russian”, Zh. Vych. Math. Math. Phys., 51:1 (2011), 44-55.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, “On a singularly perturbed initial value problem in the case of a double root of the degenerate equation”, Nonlinear Analysis, 83 (2013), 1-11. DOI:10.1016/j.na.2013.01.013.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, “On a singularly perturbed initial value problem in the case of a double root of the degenerate equation”, Nonlinear Analysis, 83 (2013), 1-11. DOI:10.1016/j.na.2013.01.013.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, “Existence and stability of solutions with periodically moving weak internal layers”, J. Math. Anal. Appl., 348:1 (2008), 508-517. DOI:10.1016/j.jmaa.2008.07.040.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, “Existence and stability of solutions with periodically moving weak internal layers”, J. Math. Anal. Appl., 348:1 (2008), 508-517. DOI:10.1016/j.jmaa.2008.07.040.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K.R. Schneider, “Region of attraction of a periodic solution to a singularly perturbed parabolic problem”, J. Math. Anal. Appl., 91:7 (2012), 1265-1277.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K.R. Schneider, “Region of attraction of a periodic solution to a singularly perturbed parabolic problem”, J. Math. Anal. Appl., 91:7 (2012), 1265-1277.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, “Periodic solutions with a boundary layer of reaction.diffusion equations with singularly perturbed Neumann boundary conditions”, Int. J. Bif. Chaos, 24:8 (2014), 1440019. DOI: http://dx.doi.org/10.1142/S0218127414400197.V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, “Periodic solutions with a boundary layer of reaction.diffusion equations with singularly perturbed Neumann boundary conditions”, Int. J. Bif. Chaos, 24:8 (2014), 1440019. DOI: http://dx.doi.org/10.1142/S0218127414400197.P. Hess, Periodic-parabolic boundary value problems and positivity, Pitman Research Notes in Mathematics Series, 247, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1991.P. Hess, Periodic-parabolic boundary value problems and positivity, Pitman Research Notes in Mathematics Series, 247, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1991.C. V. Pao, Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum Press, New York, 1992.C. V. Pao, Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum Press, New York, 1992.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.