maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-3-291-297mais-342Research ArticleОригинальные статьиArticlesСходимость сеточного решения задачи Дирихле с разрывной про- изводной граничной функции для сингулярно возмущенного уравнения конвекции- диффузииConvergence of the Difference Solutions of a Dirichlet Problem With a Discontinuous Derivative of the Boundary Function for a Singularly Perturbed Convection-Diffusion EquationЕршоваТ. Я.ErshovaT. Ya.

канд. физ.-мат. наук, факультет ВМК, Ленинские горы, 1, стр. 52, Москва, 119991, Россия

PhD,Leninskie Gory 1, str. 52, Moscow, 199991, Russia

ersh@cs.msu.ruМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation201620062016233291297Copyright © Ершова Т.Я., 20162016Ершова Т.Я.Ershova T.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/342

Рассмотрена задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами в прямоугольнике в случае, когда конвекция параллельна горизонтальным сторонам прямоугольника и направлена в сторону правой границы, а на левой границе первая производная граничной функции разрывна. При этих условиях решение задачи имеет регулярный пограничный слой в окрестности правой границы, два характеристических пограничных слоя около верхней и нижней границы и горизонтальный внутренний слой, возникающий из-за малой гладкости граничной функции. Показано, что на кусочно равномерных сетках Шишкина, сгущающихся около регулярного и характеристических слоев, решение, получаемое по классической пятиточечной разностной схеме с направленной разностью, равномерно по малому параметру сходится к решению исходной задачи в сеточной норме максимум модуля почти с первым порядком, а именно с той же скоростью, что и при гладкой граничной функции. Представлены численные результаты, подтверждающие теоретическую оценку. Также показано, что в случае задачи с преобладающим внутренним слоем кусочно равномерная сетка Шишкина, сгущающаяся около внутреннего слоя, дает уменьшение ошибки и сходимость с первым порядком.Статья публикуется в авторской редакции.

We consider a Dirichlet problem for a singularly perturbed convection-diffusion equation with constant coefficients in a rectangular domain in the case when the convection is parallel to the horizontal faces of the rectangular and directed to the right while the first derivative of the boundary function is discontinuous on the left face. Under these conditions the solution of the problem has a regular boundary layer in the neighborhood of the right face, two characteristic boundary layers near the top and bottom faces, and a horizontal interior layer due to the non-smoothness of the boundary function. We show that on the piecewise uniform Shishkin meshes refined near the regular and characteristic layers, the solution given by the classical five-point upwind difference scheme converges uniformly to the solution of the original problem with almost first-order rate in the discrete maximum norm. This is the same rate as in the case of a smooth boundary function. The numerical results presented support the theoretical estimate. They show also that in the case of the problem with a dominating interior layer the piecewise uniform Shishkin mesh refined near the layer decreases the error and gives the first-order convergence.The article is published in the author’s wording.

конвекция-диффузиясингулярное возмущениевнутренний слойсеточное решениеравномерная сходимостьconvection-diffusionsingular perturbationinterior layeruniform convergenceReferencesShishkin G. I., Grid approximation of singularly perturbed elliptic and parabolic equations, Ur.O.Ran., Ekaterinburg, 1992.Shishkin G. I., Grid approximation of singularly perturbed elliptic and parabolic equations, Ur.O.Ran., Ekaterinburg, 1992.Andreev V. B., “Pointwise approximation of corner singularities for singularly perturbed elliptic problems with characteristic layers”, Int. J. of Num. An. and Mod., 7:3 (2010), 416–427.Andreev V. B., “Pointwise approximation of corner singularities for singularly perturbed elliptic problems with characteristic layers”, Int. J. of Num. An. and Mod., 7:3 (2010), 416–427.O‘Riordan E., Shishkin G. I., “Parameter uniform numerical methods for singularly perturbed elliptic problems with parabolic boundary layers”, Applied numerical mathematics, 58 (2008), 1761–1772.O‘Riordan E., Shishkin G. I., “Parameter uniform numerical methods for singularly perturbed elliptic problems with parabolic boundary layers”, Applied numerical mathematics, 58 (2008), 1761–1772.Kellogg R., Stynes M., “A singularly perturbed convection-diffusion problem in a half-plane”, App. Anal., 85 (2006), 1471–1485.Kellogg R., Stynes M., “A singularly perturbed convection-diffusion problem in a half-plane”, App. Anal., 85 (2006), 1471–1485.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.