доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой, Каширское шоссе, 31, г. Москва, 115409 Россия,
Sci. Dr, Professor, Head of Department, Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia
кандидат физ.-мат. наук, доцент, Каширское шоссе, 31, г. Москва, 115409 Россия
PhD, Associate Professor, Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia
Нелинейные уравнения типа конвекции–диффузии с нелинейными источниками встречаются при описании многих процессов и явлений в физике, механике и биологии. В работе рассматривается семейство нелинейных дифференциальных уравнений, являющееся редукцией к переменным бегущей волны для нелинейного уравнения конвекции–диффузии с полиномиальными источниками. Исследуется вопрос о построении общего аналитического решения данного уравнения. Рассмотрены как стационарный, так и не стационарный случаи при учете и без учета конвекции. Для построения аналитических решений используется подход, основанный на применении нелокальных преобразований, обобщающих преобразования Зундмана. Показано, что в стационарном случае без учета конвекции общее аналитическое решение может быть найдено без ограничений на параметры уравнения и выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса. Поскольку в общем случае данное решение имеет громоздкий вид, найдены ограничения на параметры, при которых оно имеет простой вид, и в явном виде построены соответствующие аналитические решения. Показано, что в нестационарном случае, как при учете конвекции, так и в случае её отсутствия, общее решение исследуемого уравнения может быть построено при некоторых ограничениях на параметры. С этой целью использованы недавно полученные критерии интегрируемости для уравнений типа Льенара. Соответствующие общие аналитические решения исследуемого уравнения, выраженные через показательные или эллиптические функции, построены в явном виде.
Nonlinear convection–diffusion equations are widely used for the description of various processes and phenomena in physics, mechanics and biology. In this work we consider a family of nonlinear ordinary differential equations which is a traveling wave reduction of a nonlinear convection–diffusion equation with a polynomial source. We study a question about integrability of this family of nonlinear ordinary differential equations. We consider both stationary and non–stationary cases of this equation with and without convection. In order to construct general analytical solutions of equations from this family we use an approach based on nonlocal transformations which generalize the Sundman transformations. We show that in the stationary case without convection the general analytical solution of the considered family of equations can be constructed without any constraints on its parameters and can be expressed via the Weierstrass elliptic function. Since in the general case this solution has a cumbersome form we find some correlations on the parameters which allow us to construct the general solution in the explicit form. We show that in the non–stationary case both with and without convection we can find a general analytical solution of the considered equation only imposing some correlation on the parameters. To this aim we use criteria for the integrability of the Lienard equation which have recently been obtained. We find explicit expressions in terms of exponential and elliptic functions for the corresponding analytical solutions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.