maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-3-317-325mais-345Research ArticleОригинальные статьиArticlesПрименение метода дифференциальных неравенств для обоснования решения системы параболических уравнений в виде движущегося фронтаThe Application of the Differential Inequalities Method for Proving the Existence of Moving Front Solution of the Parabolic Equations SystemЛевашоваН. Т.LevashovaN. T.

канд. физ.-мат. наук, доцент, физический факультет, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, г. Москва, 119991, Россия

PhD, Faculty of Physics, Leninskiye Gory, 1, bld. 2, Moscow, 119991, Russia

natasha@npanalytica.ruМельниковаА. А.MelnikovaA. A.

канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, физический факультет, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, г. Москва, 119991, Россия

PhD, Faculty of Physics, Leninskiye Gory, 1, bld. 2, Moscow, 119991, Russia

melnikova@physics.msu.ruБыцюраС. В.BytsyuraS. V.

студентка, физический факультет, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, г. Москва, 119991, Россия

student, Faculty of Physics, Leninskiye Gory, 1, bld. 2, Moscow, 119991, Russia

sv.bytcyura@physics.msu.ruМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation201620062016233317325Copyright © Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Быцюра С.В., 20162016Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Быцюра С.В.Levashova N.T., Melnikova A.A., Bytsyura S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/345

Исследование решений начально-краевых задач для параболических уравнений является важной составляющей математического моделирования. Особый интерес для математического моделирования представляют краевые задачи, решения которых претерпевают резкое изменение в какой-либо области пространства. Такие области называются внутренними переходными слоями. В том случае, если положение переходного слоя изменяется со временем, решение параболической задачи имеет вид движущегося фронта. При доказательстве существования у начально-краевых задач решений такого вида весьма эффективным оказывается метод дифференциальных неравенств, согласно которому для данной краевой задачи строятся так называемые верхнее и нижнее решения. Суть асимптотического метода дифференциальных неравенств заключается в том, чтобы получать верхнее и нижнее решения как модификации асимптотических представлений решений краевых задач. Существование верхнего и нижнего решений является достаточным условием существования решения краевой задачи. В ходе проверки выполнения дифференциальных неравенств существенным оказывается так называемое условие квазимонотонностии. В настоящей работе рассмотрено, каким образом можно построить верхнее и нижнее решения для системы параболических уравнений при различных условиях квазимонотонности.

Investigations of initial boundary value problems for parabolic equations solutions are an important component of mathematical modeling. In this regard of special interest for mathematical modeling are the boundary value problem solutions that undergo sharp changes in any area of space. Such areas are called internal transitional layers. In case when the position of a transitional layer changes over time, the solution of a parabolic equation behaves as a moving front. For the purpose of proving the existence of such initial boundary value problem solutions, the method of differential inequalities is very effective. According to this method the so-called upper and lower solutions are to be constructed for the initial boundary value problem. The essence of an asymptotic method of differential inequalities is in receiving the upper and lower solutions as modifications of asymptotic submissions of the solutions of boundary value problems. The existence of the upper and lower solutions is a sufficient condition of existence of a solution of a boundary value problem. While proving the differential inequalities the so-called ”quasimonotony” condition is essential. In the present work it is considered how to construct the upper and lower solutions for the system of the parabolic equations under various conditions of quasimonotony.

система параболических уравненийпереходный слойметод дифференциальных неравенствparabolic equations systeminternal transitional layerdifferential inequalities methodReferencesFitzHugh R. A., “Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane”, Biophys. J., 1 (1961), 445–466.FitzHugh R. A., “Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane”, Biophys. J., 1 (1961), 445–466.Murray J. D., Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Third Edition, Springer, 2003.Murray J. D., Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Third Edition, Springer, 2003.Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Яковенко Л.В., “Популяционная модель урбоэкосистем в представлениях активных сред”, Биофизика, 60:3 (2015), 574– 582; English transl.: Sidorova A. E., Levashova N. T., Melnikova A. A., Yakovenko L. V, “A model of a human dominated urban ecosystem as an active medium”, Biophysics, 60:3 (2015), 466–473.Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Яковенко Л.В., “Популяционная модель урбоэкосистем в представлениях активных сред”, Биофизика, 60:3 (2015), 574– 582; English transl.: Sidorova A. E., Levashova N. T., Melnikova A. A., Yakovenko L. V, “A model of a human dominated urban ecosystem as an active medium”, Biophysics, 60:3 (2015), 466–473.Бутузов В.Ф., Неделько И.В., “Контрастная структура типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных параболических уравнений”, Матем. моделирование, 13:12 (2000), 23–42; English transl.: Butuzov V. F., Nedelko I. V., “Step-type contrast structure in a system of two singularly perturbed parabolic equations”, Matem. Mod., 60:3 (2001), 23–42.Бутузов В.Ф., Неделько И.В., “Контрастная структура типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных параболических уравнений”, Матем. моделирование, 13:12 (2000), 23–42; English transl.: Butuzov V. F., Nedelko I. V., “Step-type contrast structure in a system of two singularly perturbed parabolic equations”, Matem. Mod., 60:3 (2001), 23–42.Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе параболических уравнений”, Дифференциальные уравнения, 51:3 (2015), 339–358; English transl.: Levashova N. T., Melnikova A. A., “Step-likeЛевашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе параболических уравнений”, Дифференциальные уравнения, 51:3 (2015), 339–358; English transl.: Levashova N. T., Melnikova A. A., “Step-likecontrast structure in a singularly perturbed system of parabolic equations”, Differential Equations, 51:3 (2015), 342–361.contrast structure in a singularly perturbed system of parabolic equations”, Differential Equations, 51:3 (2015), 342–361.Fife P. C., McLeod J. B., “The Approach of Solutions of Nonlinear Diffusion. Equations to Travelling Front Solutions”, Arch. ration. mech. anal., 65:4 (1977), 335–361.Fife P. C., McLeod J. B., “The Approach of Solutions of Nonlinear Diffusion. Equations to Travelling Front Solutions”, Arch. ration. mech. anal., 65:4 (1977), 335–361.Pao C. V., Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press. New York, 1992.Pao C. V., Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press. New York, 1992.Волков В.Т., Нефeдов Н.Н., “Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:4 (2006), 615–623; English transl.: Volkov V. T., Nefedov N. N., “Development of the asymptotic method of differential inequalities for investigation of periodic contrast structures in reaction-diffusion equations”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz, 46:4 (2006), 585–593.Волков В.Т., Нефeдов Н.Н., “Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:4 (2006), 615–623; English transl.: Volkov V. T., Nefedov N. N., “Development of the asymptotic method of differential inequalities for investigation of periodic contrast structures in reaction-diffusion equations”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz, 46:4 (2006), 585–593.Божевольнов Ю.В.,Нефeдов Н.Н., “Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:2 (2010), 276–285; English transl.: Bozhevol’nov Yu. V., Nefedov N. N., “Front motion in a parabolic reaction-diffusion problem”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz, 50:2 (2010), 264–273.Божевольнов Ю.В.,Нефeдов Н.Н., “Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:2 (2010), 276–285; English transl.: Bozhevol’nov Yu. V., Nefedov N. N., “Front motion in a parabolic reaction-diffusion problem”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz, 50:2 (2010), 264–273.Антипов Е.А., Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., “Асимптотика движения фронта в задаче реакция-диффузия-адвекция”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:10 (2014), 1594–1607; English transl.: Antipov E. A., Levashova N. T., Nefedov N.N., “Asymptotics of the front motion in the reaction-diffusion-advection problem”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 54:10 (2014), 1536–1549.Антипов Е.А., Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., “Асимптотика движения фронта в задаче реакция-диффузия-адвекция”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:10 (2014), 1594–1607; English transl.: Antipov E. A., Levashova N. T., Nefedov N.N., “Asymptotics of the front motion in the reaction-diffusion-advection problem”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 54:10 (2014), 1536–1549.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф, Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, М, 1990, 208 с.; [Vasil’eva A.B., Butuzov V.F, Asimptoticheskie metody v teorii singuljarnyh vozmushhenij, Vysshaja shkola, Moskva, 1990 (in Russian).] 208 pp.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф, Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, М, 1990, 208 с.; [Vasil’eva A.B., Butuzov V.F, Asimptoticheskie metody v teorii singuljarnyh vozmushhenij, Vysshaja shkola, Moskva, 1990 (in Russian).] 208 pp.Левашова Н.Т., Петровская Е.С., “Применение метода дифференциальных неравенств для обоснования асимптотики решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в виде контрастной структуры типа ступеньки”, Ученые записки физического факультета, 2014, № 1, 1–13; [Levashova N. T., Petrovskaya E. S., “Primenenie metoda differentsialnykh neravenstv dlya obosnovaniya asimptotiki resheniya sistemy dvukh obyknovennykh differentsialnykh uravneniy v vide kontrastnoy struktury tipa stupenki”, Uchenye zapiski fizicheskogo fakulteta, 2014, № 1, 1–13 (in Russian).]Левашова Н.Т., Петровская Е.С., “Применение метода дифференциальных неравенств для обоснования асимптотики решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в виде контрастной структуры типа ступеньки”, Ученые записки физического факультета, 2014, № 1, 1–13; [Levashova N. T., Petrovskaya E. S., “Primenenie metoda differentsialnykh neravenstv dlya obosnovaniya asimptotiki resheniya sistemy dvukh obyknovennykh differentsialnykh uravneniy v vide kontrastnoy struktury tipa stupenki”, Uchenye zapiski fizicheskogo fakulteta, 2014, № 1, 1–13 (in Russian).]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.