maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-4-440-465mais-370Research ArticleОригинальные статьиArticlesОб алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родомOn Algebraic Cycles on Fibre Products of Non-isotrivial Families of Regular Surfaces with Geometric Genus 1https://orcid.org/0000-0002-6742-8453НикольскаяО. В.Nikol’skayaO. V.

Никольская Ольга Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент

Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, ул. Горького, 87, г. Владимир, 600000

Nikol’skaya Olga Vladimirovna, PhD

A.G. and N.G. Stoletov Vladimir State University, Gorky str., 87, Vladimir, 600000

papichonok@yandex.ruВладимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, ВладимирРоссияA.G. and N.G. Stoletov Vladimir State University, VladimirRussian Federation201620082016234440465Copyright © Никольская О.В., 20162016Никольская О.В.Nikol’skaya O.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/370

Пусть       - проективное семейство поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой  . Предположим, что дискриминантные локусы       не пересекаются, причем           для любого гладкого слоя     и отображение периодов, ассоциированное с вариацией структур Ходжа         (где             - гладкая часть морфизма    ), является непостоянным. Если для общих геометрических слоев     и     выполнены следующие условия: (i)         является нечетным числом; (ii)              , то для любой гладкой проективной модели   расслоенного произведения         верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах. Если, кроме того, морфизмы     гладкие,           - нечетные простые числа и      , то для

Let      ) be a projective family of surfaces (possibly with degenerations) over a smooth projective curve  . Assume that the discriminant loci       are disjoint,          for any smooth fibre     and the period map associated with the variation of Hodge structures         (where             is a smooth part of the morphism    ), is non-constant. If for generic geometric fibres     and     the following conditions hold: (i)         is an odd integer; (ii)              , then for any smooth projective model   of the fibre product         the Hodge conjecture on algebraic cycles is true. If, besides, the morphisms     are smooth,           are odd prime numbers and      , then for

гипотеза Ходжастандартная гипотезарасслоенное произведениегруппа Ходжацикл ПуанкареHodge conjecturestandard conjecturefibre productHodge groupPoincar´e cycleРоссийский фонд фундаментальных исследований (грант N 16-31-00266)Russian Foundation for basic research under the Grant No 16-31-00266ReferencesHodge W. V. D., “The topological invariants of algebraic varieties”, Proceedings of International Congress of Mathematicians, 1 (1952), 182–192.Hodge W. V. D., “The topological invariants of algebraic varieties”, Proceedings of International Congress of Mathematicians, 1 (1952), 182–192.Танкеев С. Г., “Циклы на простых абелевых многообразиях простой размерности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:1 (1982), 155–170.Tankeev S. G., “Cycles on simple abelian varieties of prime dimension”, Mathematics of the USSRIzvestiya, 20:1 (1983), 157–171. DOI: 10.1070/IM1983v020n01ABEH001345.Gordon B. B., “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties, Appendix in: J.D. Lewis”, A survey of the Hodge conjecture, 10, Second edition, CRM Monograph Series, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, 297–356.Gordon B. B., “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties, Appendix in: J.D. Lewis”, A survey of the Hodge conjecture, 10, Second edition, CRM Monograph Series, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, 297–356.Никольская О. В., “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств K3 поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164. DOI: 10.1070/IM2013v077n01ABEH002631.Nikolskaya O. V., “On algebraic cycles on a fibre product of families of K3 surfaces”, Izv. Math., 77:1 (2013), 143–162. DOI: 10.1070/IM2013v077n01ABEH002631.Никольская О. В., “О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей”, Матем. сб., 205:2 (2014), 123–130. DOI: 10.1070/SM2014v205n02ABEH004374.Nikolskaya O. V., “On the geometry of a smooth model of a fibre product of families of K3 surfaces”, Sbornik: Mathematics, 205:2 (2014), 269–276. DOI: 10.1070/SM2014v205n02ABEH004374.Никольская О. В., “Об алгебраических классах когомологий на гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей”, Матем. заметки, 96:5 (2014), 738–746. DOI: 10.1134/S0001434614110133.Nikolskaya O. V., “On algebraic cohomology classes on a smooth model of a fiber product of families of K3 surfaces”, Math. Notes, 96:5 (2014), 745–752. DOI: 10.1134/S0001434614110133.Grothendieck A., “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic Geometry, Oxford University Press, London, 1969, 193–199, Internatioal Colloguium (Bombay, 1968).Grothendieck A., “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic Geometry, Oxford University Press, London, 1969, 193–199, Internatioal Colloguium (Bombay, 1968).Lieberman D. I., “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374. DOI: 10.2307/2373533Lieberman D. I., “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374. DOI: 10.2307/2373533Танкеев С. Г., “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194. DOI: 10.1070/IM2011v075n05ABEH002563.Tankeev S. G., “On the standard conjecture of Lefschetz type for complex projective threefolds. II”, Izv. Math., 75:5 (2011), 1047–1062. DOI: 10.1070/IM2011v075n05ABEH002563.Charles F., Markman E., “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert shemes of K3 surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494. DOI: 10.1112/S0010437X12000607.Charles F., Markman E., “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert shemes of K3 surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494. DOI: 10.1112/S0010437X12000607.Танкеев С. Г., “О стандартной гипотезе для комплексных 4-мерных эллиптических многообразий и компактификаций минимальных моделей Нерона”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:1 (2014), 181–214. DOI: 10.1070/IM2014v078n01ABEH002684.Tankeev S. G., “On the standard conjecture for complex 4-dimensional elliptic varieties and compactifications of Neron minimal models”, Izv. Math., 78:1 (2014), 169–200. DOI: 10.1070/IM2014v078n01ABEH002684.Deligne P., “Travaux de Griffiths”, S´eminaire Bourbaki 1969/70, Expos´e 376,, Heidelberg, Benjaminn, New York, 1971, 213–235.Deligne P., “Travaux de Griffiths”, S´eminaire Bourbaki 1969/70, Expos´e 376,, Heidelberg, Benjaminn, New York, 1971, 213–235.Гриффитс Ф. А., “Периоды интегралов на алгебраических многообразиях: обзор основных результатов и обсуждение открытых проблем”, УМН, 25:3 (1970), 175–234. DOI: 10.1090/S0002-9904-1970-12444-2.Griffiths Ph. A., “Periods of integrals on algebraic manifolds: summary of main results and discussion of open problems”, Bull. Amer. Math. Soc., 76:2 (1970), 228–296. DOI: 10.1090/S0002-9904-1970-12444-2.Griffiths Ph. A., “A transcendental method in algebraic geometry”, Actes du Congr´es int´ernational des math´ematiciens (Nice, 1970), 1 (1971), 113–119.Griffiths Ph. A., “A transcendental method in algebraic geometry”, Actes du Congr´es int´ernational des math´ematiciens (Nice, 1970), 1 (1971), 113–119.Schmid W., “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. math., 22 (1973), 211–319. DOI: 10.1007/BF01389674.Schmid W., “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. math., 22 (1973), 211–319. DOI: 10.1007/BF01389674.Morrison D. R., “On the moduli of Todorov surfaces”, Algebraic geometry and commutative algebra in honor of Masayoshi Nagata, Kinokuniya C. Ltd., 1988, 313–356.Morrison D. R., “On the moduli of Todorov surfaces”, Algebraic geometry and commutative algebra in honor of Masayoshi Nagata, Kinokuniya C. Ltd., 1988, 313–356.Pignatelli R., “Some (big) irreducible components of the moduli space of minimal surfaces of general type with pg = q = 1 and K2 = 4”, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 20:3 (2009), 207–226. DOI: 10.4171/RLM/544.Pignatelli R., “Some (big) irreducible components of the moduli space of minimal surfaces of general type with pg = q = 1 and K2 = 4”, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 20:3 (2009), 207–226. DOI: 10.4171/RLM/544.Moonen B., “On the Tate and Mumford Tate conjectures in codimension one for varieties with h 2,0 = 1”, arXiv: 1504.05406v1, 21 Apr 2015, 1–45.Moonen B., “On the Tate and Mumford Tate conjectures in codimension one for varieties with h 2,0 = 1”, arXiv: 1504.05406v1, 21 Apr 2015, 1–45.Zarhin Yu. G., “Hodge groups of K3 surfaces”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, 341 (1983), 193–220.Zarhin Yu. G., “Hodge groups of K3 surfaces”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, 341 (1983), 193–220.Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, Мир, Москва, гл. 1–3 (1976); гл. 4–6 (1972); гл. 7–8 (1978).Bourbaki N., Groupes et alg`ebres de Lie, Chaps. 1–8, Actualit´es Sci. Indust., nos. 1285, 1349, 1337, 1364, Hermann, Paris, 1971, 1972, 1968, 1975.Мустафин Г. А., “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978. DOI: 10.1070/IM1986v027n02ABEH001177.Mustafin G. A., “Families of algebraic varieties and invariant cycles”, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 27:2 (1986), 251–278. DOI: 10.1070/IM1986v027n02ABEH001177.Бурбаки Н., Элементы математики. Алгебра. Гл. V II – IX. Модули, кольца, формы, Наука, Москва, 1966.Bourbaki N., El´ements de math´ematique. Alg`ebre, ´ Ch. IX, Formes sesquilineares et formes quadratiques, Hermann, Paris, 1959.Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, Мир, Москва, 1964.Helgason S., Differential geometry and symmetric spaces, Academic Press, New York and London, 1962.Зархин Ю. Г., “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304.Zarhin Yu. G., “Weights of simple Lie algebras in the cohomology of algebraic varieties”, Math. USSRIzv., 24:2 (1985), 245–281. DOI: 10.1070/IM1985v024n02ABEH001230.Танкеев С. Г., “Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 197–224.Tankeev S. G., “Monoidal transformation and conjectures on algebraic cycles”, Izv. Math., 71:3 (2007), 629–655. DOI: 10.1070/IM2007v071n03ABEH002370.Танкеев С. Г., “Об арифметике и геометрии общего гиперповерхностного сечения”, Изв. РАН. Сер. матем., 66:2 (2002), 173–204. DOI: 10.1070/IM2002v066n02ABEH000383.Tankeev S. G., “The arithmetic and geometry of a generic hypersurface section”, Izv. Math., 66:2 (2002), 393– 424. DOI: 10.1070/IM2002v066n02ABEH000383.Kempf G. et al., Toroidal embeddings, I. Lecture Notes in Mathematics, 339, SpringerVerlag, Berlin New York, 1973, 209 pp.Kempf G. et al., Toroidal embeddings, I. Lecture Notes in Mathematics, 339, SpringerVerlag, Berlin New York, 1973, 209 pp.Танкеев С. Г., “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224. DOI: 10.1070/IM2003v067n03ABEH000439.Tankeev S. G., “On the standard conjecture for complex Abelian schemes over smooth projective curves”, Izv. Math., 67:3 (2003), 597–635. DOI: 10.1070/IM2003v067n03ABEH000439.Делинь П., “Теория Ходжа. II”, Математика. Сборник переводов иностранных статей, 17:5 (1973), 3–56. DOI: 10.1007/BF02684692.Deligne P., “Th´eorie de Hodge. II”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ´ , 40 (1971), 5–57. DOI: 10.1007/BF02684692.Zucker S., “Hodge theory with degenerating coefficients: L2 cohomology in the Poincar´e metric”, Ann. Math. (2), 109:3 (1979), 415–476. DOI: 10.2307/1971221.Zucker S., “Hodge theory with degenerating coefficients: L2 cohomology in the Poincar´e metric”, Ann. Math. (2), 109:3 (1979), 415–476. DOI: 10.2307/1971221.Танкеев С. Г., “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 175—196. DOI: 10.1070/IM2010v074n01ABEH002484.Tankeev S. G., “On the standard conjecture of Lefschetz type for complex projective threefolds”, Izv. Math., 74:1 (2010), 167–187. DOI: 10.1070/IM2010v074n01ABEH002484.Deligne P., “Th´eorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ´ , 44 (1974), 5–77.Deligne P., “Th´eorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ´ , 44 (1974), 5–77.Okamoto M., “On a certain decomposition of 2-dimensional cycles on a product of two algebraic surfaces”, Proceeding of Japan Academy, Series A, 57:6 (1981), 321–325. DOI: 10.3792/pjaa.57.321.Okamoto M., “On a certain decomposition of 2-dimensional cycles on a product of two algebraic surfaces”, Proceeding of Japan Academy, Series A, 57:6 (1981), 321–325. DOI: 10.3792/pjaa.57.321.Shimura G., “Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field”, Amer. J. Math., 77:1 (1955), 134–176. DOI: 10.2307/2372425.Shimura G., “Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field”, Amer. J. Math., 77:1 (1955), 134–176. DOI: 10.2307/2372425.Kleiman S. L., “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix expos´es sur la cohomologie des sch´emas, North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968, 359–386.Kleiman S. L., “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix expos´es sur la cohomologie des sch´emas, North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968, 359–386.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.