maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-515-528mais-385Research ArticleОригинальные статьиArticlesСингулярно возмущенная эллиптическая задача Дирихле с кратным корнем вырожденного уравненияSingularly Perturbed Elliptic Dirichlet Problem with a Multiple Root of the Degenerate EquationБутузовВ. Ф.ButuzovV. F.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математики физического факультета

Professor

butuzov@phys.msu.ruБелошапкоВ. А.BeloshapkoV. A.

аспирант

graduate student

postvab@rambler.ruМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, г. Москва, 119991 РоссияРоссияLomonosov Moscow State University, GSP-1, 1-2 Leninskiye Gory, 119991, RussiaRussian Federation201620102016235515528Copyright © Бутузов В.Ф., Белошапко В.А., 20162016Бутузов В.Ф., Белошапко В.А.Butuzov V.F., Beloshapko V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/385

Рассматривается сингулярно возмущенная эллиптическая задача с граничными условиями Дирихле в случае кратного корня вырожденного уравнения. Построено и обосновано полное асимптотическое разложение решения задачи. Оно качественно отличается от известного разложения в случае, когда корень вырожденного уравнения – простой: асимптотическое разложение решения ведется по дробным степеням малого параметра, погранслойные переменные имеют другой масштаб, погранслойный ряд строится с помощью нестандартного алгоритма, пограничный слой вблизи границы области состоит из трех зон с различным поведением решения в разных зонах.

A singularly perturbed elliptic problem with Dirichlet boundary conditions is considered in the case of multiple roots of the degenerate equation. A complete asymptotic expansion of the solution is constructed and justified. It is qualitatively different from the known expansion in the case where the root of the degenerate equation is simple: the asymptotic expansion of the solution being in fractional powers of the small parameter, boundary-layer variables have a different scale, boundary-layer series is constructed using a non-standard algorithm, the boundary layer in the vicinity of the domain boundary consists of three zones with different behavior of the solution in different zones.

сингулярно возмущенное эллиптическое уравнениеслучай кратного корня вырожденного уравненияасимптотическое разложение решения погранслойного типатрехзонный пограничный слойsingularly perturbed elliptic equationcase of multiple root of the degenerate equationasymptotic expansion of boundary layer type solutionthree-band boundary layerReferencesВасильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высшая школа, М., 1990.Vasilieva A. B., Butuzov V. F., Asymptotic methods in the theory of singular perturbations, Moscow, 1990, (in Russian).Paul C. Fife, “Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 52 (1973), 205–232.Paul C. Fife, “Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 52 (1973), 205–232.Белошапко В. А., Бутузов В. Ф., “Сингулярно возмущенная эллиптическая задача в случае кратного корня вырожденного уравнения”, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 53:8 (2013), 1291–1301.Beloshapko V. A., Butuzov V. F., “A singularly perturbed elliptic problem in the case of a multiple root of the degenerate equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 53:8 (2013), 1117–1127 .Белошапко В. А., Бутузов В. Ф., “Асимптотика решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с трехзонным пограничным слоем”, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 56:8 (2016), 1428–1440.Beloshapko V. A., Butuzov V. F., “Asymptotics of the solution of a singularly perturbed elliptic problem with three-band boundary layer”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 56:8 (2016), 1414–1425 .Бутузов В. Ф., “Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущённых задачах с кратным корнем вырожденного уравнения”, Математические заметки, 94:1 (2013), 68–80.Butuzov V. F., “On the Special Properties of the Boundary Layer in Singularly Perturbed Problems with Multiple Root of the Degenerate Equation”, Mathematical Notes, 94:1 (2013), 60–70 .Pao C. V., Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum Press, New York, 1992.Pao C. V., Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum Press, New York, 1992.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.