maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-529-538mais-386Research ArticleОригинальные статьиArticlesЧисленные методы решения задач Коши с контрастными структурамиNumerical Methods of Solving Cauchy Problems with Contrast StructuresБеловА. А.BelovA. A.

аспирант

graduate student

belov_25.04.1991@mail.ruКалиткинН. Н.KalitkinN. N.

член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор

corresponding member RAS, Dr. Sci. (Phys.–Math.), professor

kalitkin@imamod.ruМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Ленинские горы, 1, стр. 2, г. Москва, 119991 РоссияРоссияLomonosov Moscow State University, 1–2 Leninskie Gory, Moscow 119991, RussiaRussian FederationИнститут прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Миусская пл., 4, г. Москва, 125047 РоссияРоссияKeldysh Institute of Applied Mathematics RAS, 4 Miusskaya sq., Moscow 125047, RussiaRussian Federation201620102016235529538Copyright © Белов А.А., Калиткин Н.Н., 20162016Белов А.А., Калиткин Н.Н.Belov A.A., Kalitkin N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/386

Изложены современные численные методы, позволяющие наиболее эффективно рассчитывать задачи с контрастными структурами. К ним относятся явно-неявные схемы Розенброка с комплексными коэффициентами и чисто неявные оптимальные обратные схемы Рунге-Кутты. В качестве аргумента целесообразно выбирать длину дуги интегральной кривой. Этот аргумент обеспечивает высокую надежность расчета и существенно снижает трудоемкость для систем уравнений невысокого порядка. Для повышения экономичности предложен алгоритм автоматического выбора шага по кривизне интегральной кривой. Этот алгоритм не уступает стандартным алгоритмам по экономичности, но существенно превосходит их по надежности. Показано, что при этом можно одновременно вычислять апостериорную асимптотически точную оценку погрешности методом Ричардсона. Стандартные алгоритмы автоматического выбора шага не могут дать таких оценок, а фактическая погрешность у них нередко на много порядков превышает заданную пользователем. Исследованы границы применимости численных методов. При решении задач сверхвысокой жесткости они могут не дать удовлетворительного ответа; в этих случаях следует переходить к приближенным аналитическим методам. Таким образом, численные и асимптотические методы являются взаимно дополняющими.

Modern numerical methods allowing to solve contrast structure problems in the most efficient way are described. These methods include explicit-implicit Rosenbrock schemes with complex coefficients and fully implicit backward optimal Runge–Kutta schemes. As an integration argument, it is recommended to choose the length of the integral curve arc. This argument provides high reliability of the calculation and sufficiently decreases the complexity of computations for low-order systems. In order to increase the efficiency, we propose an automatic step selection algorithm based on curvature of the integral curve. This algorithm is as efficient as standard algorithms and has sufficiently larger reliability. We show that along with such an automatic step selection it is possible to calculate a posteriori asymptotically precise error estimation. Standard algorithms do not provide such estimations and their actual error quite often exceeds the user-defined tolerance by several orders. The applicability limitations of numerical methods are investigated. In solving superstiff problems, they sometimes do not provide satisfactory results. In such cases, it is recommended to imply approximate analytical methods. Consequently, numerical and analytical methods are complementary.

жесткая задача Кошиконтрастная структураавтоматический выбор шагакривизна в многомерном пространствеоценки по методу Ричардсонадиагностика сингулярностейразрушение решенийstiff Cauchy problemcontrast structureautomatic step selectioncurvature in multidimensional spaceRichardson method estimationssingularity diagnosticssolution blow-upReferencesHairer E., Wanner G., Solving ordinary differential equations. Stiff and differentialalgebraic problems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tolyo, 1999.Hairer E., Wanner G., Solving ordinary differential equations. Stiff and differentialalgebraic problems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tolyo, 1999.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах”, Фундаментальная и прикладная математика, 4:3 (1998), 799–851.Vasileva A. B., Butuzov V. F., Nefedov N. N., “Kontrastnye struktury v singuliarno vozmushchennykh zadachakh”, Fundamentalnaia i prikladnaia matematika, 4:3 (1998), 799–851, (in Russian).Rosenbrock H. H., “Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations”, Comput. J., 5:4 (1963), 329–330.Rosenbrock H. H., “Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations”, Comput. J., 5:4 (1963), 329–330.Ширков П. Д., “Оптимально затухающие схемы с комплексными коэффициентами для жестких систем ОДУ”, Матем. моделирование, 4:8 (1992), 47–57.Shirkov P. D., “Optimalno zatukhaiushchie skhemy s kompleksnymi koeffitsientami dlia zhestkikh ODU”, Matem. Modelirovanie, 4:8 (1992), 47–57, (in Russian).Альшин А. Б., Альшина Е. А., Лимонов А. Г., “Двухстадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009, № 2, 270–287.Al’shin A. B., Al’shina E. A., Limonov A. G., “Two-stage complex Rosenbrock schemes for stiff systems”, Comp. Math. and Math. Phys., 49:2 (2009), 261–278.Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П., “Обратные Ls-устойчивые схемы Рунге-Кутты”, Доклады Академии Наук, 442:2 (2012), 175–180.Kalitkin N. N., Poshivaylo I. P., “Inverse Ls-stable Runge-Kutta schemes”, Doklady Math., 85:1 (2012), 139–143.Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П., “Вычисления с использованием обратных схем Рунге–Кутты”, Матем. моделирование, 25:10 (2013), 79–96.Kalitkin N. N., Poshivaylo I. P., “Computations with inverse Runge–Kutta schemes”, Math. Models and Comp. Simulations, 6:3 (2014), 272–285.Белов А. А., Калиткин Н. Н., Пошивайло И. П., “Геометрически-адаптивные сетки для жестких задач Коши”, Доклады Академии наук, 466:3 (2016), 276–281.Belov A. A., Kalitkin N. N., Poshivaylo I. P., “Geometrically adaptive grids for stiff Cauchy problems”, Doklady Math., 93:1 (2016), 112–116.Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В., Вычисления на квазиравномерных сетках, Физматлит, М., 2005.Kalitkin N. N, Alshin A. B., Alshina E. A., Rogov B. V., Vychisleniia na kvaziravnomernykh setkakh, Fizmatlit, M., 2005, (in Russian).Альшина Е. А., Калиткин Н. Н., Корякин П. В., “Диагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток”, Доклады Академии наук, 404:3 (2005), 295–299.Alshina E. A., Kalitkin N. N., Koryakin P. V., “Diagnosis of singularities of exact solutions by calculation on embedded grids”, Doklady Math., 72:2 (2005), 697–701.Альшина Е. А., Калиткин Н. Н., Корякин П. В., “Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 45:10 (2005), 1837–1847.Alshina E. A., Kalitkin N. N., Koryakin P. V., “Diagnostics of singularities of exact solutions in computations with error control”, Comp. Math. and Math. Phys., 45:10 (2005), 1769–1779.Белов A. A., “Численное обнаружение и исследование сингулярностей решения дифференциальных уравнений”, Доклады Академии наук, 468:1 (2016), 21–25.Belov A. A., “Numerical Detection and Study of Singularities in Solutions of Differential Equations”, Doklady Mathematics, 93:3 (2016), 334–338.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.