maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-548-558mais-388Research ArticleОригинальные статьиArticlesВзаимодействие двух волн в модели Ферми – Паста – УламаTwo Wave Interactions in a Fermi– Pasta–Ulam ModelГлызинС. Д.GlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей;ведущий научный сотрудник

Doctor, Professor

glyzin@uniyar.ac.ruКащенкоС. А.KashchenkoS. A.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования

Doctor, Professor

kasch@uniyar.ac.ruТолбейА. О.TolbeyA. O.

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры компьютерных сетей

PhD, Associate Professor

bekva@yandex.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия; НЦЧ РАН, ул. Лесная, д. 9, г. Черноголовка, Московская область, 142432 РоссияРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, Russia, Scientific Center in Chernogolovka RAS, 9 Lesnaya str., Chernogolovka, Moscow region, 142432, RussiaRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Каширское шоссе, 31, г. Москва, 115409 РоссияРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, Russia, National Research Nuclear University MEPhI, 31 Kashirskoye shosse, Moscow 115409, RussiaRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 РоссияРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, RussiaRussian Federation201620102016235548558Copyright © Глызин С.Д., Кащенко С.А., Толбей А.О., 20162016Глызин С.Д., Кащенко С.А., Толбей А.О.Glyzin S.D., Kashchenko S.A., Tolbey A.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/388

Работа посвящена исследованию динамических свойств решений краевых задач, связанных с классической системой Ферми – Паста – Улама (ФПУ). При исследовании локальной динамики этих задач может реализовываться критический случай бесконечной размерности. В этих условиях построено специальное нелинейное уравнение с частными производными, которое играет роль квазинормальной формы, т.е. определяет в главном поведение всех решений исходной краевой задачи с начальными условиями из достаточно малой окрестности состояния равновесия. В зависимости от значений параметров в качестве квазинормальных форм выступают модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (КДВ) и уравнение Кортевега – де Вриза – Бюргерса (КДВБ). При некоторых дополнительных предположениях к полученным краевым задачам применена процедура повторной нормализации, приводящая к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описан способ сворачивания этой системы в краевую задачу – аналог нормальной формы. Построенные квазинормальные формы позволяют судить о динамике задачи ФПУ. Основной результат работы состоит в том, что аналитическими методами нелинейной динамики изучен вопрос о взаимодействии волн, движущихся в разных направлениях, в задаче ФПУ. При рассмотрении так называемых регулярных решений описано влияние волн друг на друга, которое задается специальным интегральным соотношением. Показано, что это влияние является асимптотически малым и не меняет форму волн, внося вклад только в их скоростной сдвиг, который не меняется по времени.

The work is devoted to the dynamic properties of the solutions of boundary value problems associated with the classical system of Fermi – Pasta – Ulam (FPU). We study this problem in infinite-dimensional case, when a countable number of roots of characteristic equations tend to an imaginary axis. Under these conditions, we built a special non-linear partial differential equation, which plays the role of a quasinormal form, i.e, it defines the dynamics of the original boundary value problem with the initial conditions in a sufficiently small neighborhood of the equilibrium state. The modified Korteweg de Vries (KdV) equation and the Korteweg de Vries Burgers (KdVB) one are quasinormal forms depending on the parameter values. Under some additional assumptions, we apply the procedure of renormalization to the obtained boundary value problems. This procedure leads to an infinite-dimensional system of ordinary differential equations. We describe a method of folding this system in the special boundary value problem, which is an analogue of the normal form. The main result is that the analytical methods of nonlinear dynamics explored the interaction of waves moving in different directions, in the problem of the FPU. It was shown that waves influence on each other is asymptotically small and does not change the shape of waves, contributing only a shift in their speed, which does not change over time.

модель Ферми – Паста – Уламаобобщенное уравнение Кортевега–де Вризаквазинормальная формакраевая задачаFermi–Pasta–Ulam modelgeneralized KdV equationquasinormal formboundary value problemReferencesRussel Scott J., “Report of waves”, Report of the 14-th. Meeting of the British Association for the Advancement of Science, London, 1844, 311–390.Russel Scott J., “Report of waves”, Report of the 14-th. Meeting of the British Association for the Advancement of Science, London, 1844, 311–390.Fermi E., Pasta J. R., Ulam S., Studies of Nonlinear Problems, Report LA-1940, Alamos Scientific Laboratory, 1955.Fermi E., Pasta J. R., Ulam S., Studies of Nonlinear Problems, Report LA-1940, Alamos Scientific Laboratory, 1955.Porter M. A., Zabusky N. J., Hu B., Campbell D. K., “Fermi, Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics”, American Scientist, 97:3 (2009), 214–221.Porter M. A., Zabusky N. J., Hu B., Campbell D. K., “Fermi, Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics”, American Scientist, 97:3 (2009), 214–221.Dauxois T., Peyrard M., Ruffo S., “The Fermi–Pasta–Ulam “numerical experiment”: history and pedagogical perspectives”, arXiv: nlin/0501053v2, 22 Mar 2005.Dauxois T., Peyrard M., Ruffo S., “The Fermi–Pasta–Ulam “numerical experiment”: history and pedagogical perspectives”, arXiv: nlin/0501053v2, 22 Mar 2005.Genta T., Giorgilli A., Paleari S., Penati T., “Packets of resonant modes in the FermiPasta-Ulam system”, Physics Letters A, 376 (2012), 2038–2044.Genta T., Giorgilli A., Paleari S., Penati T., “Packets of resonant modes in the FermiPasta-Ulam system”, Physics Letters A, 376 (2012), 2038–2044.Кудряшов Н. А., “Модель Ферми–Паста–Улама и нелинейные эволюционные уравнения”, Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ, 5:1 (2016), 3–22.Kudryashov N. A., “Fermi–Pasta–Ulam Model and Higher-Order Nonlinear Evolution Equations”, Vestnik natsionalnogo issledovatelskogo yadernogo universiteta ”MIFI”, 5:1 (2016), 3–22, (in Russian).Кудряшов Н. А., Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004, 360 с.Kudryashov N. A., Analytical theory of nonlinear differential equations, Institute of Computer Science, Moscow-Izhevsk, 2004, 360 pp., (in Russian).Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M., Phys. Rev. Lett., 19 (1967), 1095–1097.Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M., Phys. Rev. Lett., 19 (1967), 1095–1097.Ablowitz M. J., Clarkson P. A., Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge university press, 1991.Ablowitz M. J., Clarkson P. A., Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge university press, 1991.Kudryashov N. A., “Refinement of the Korteweg – de Vries equation from the Fermi–Pasta–Ulam model”, Phys. Lett. A, 279 (2015), 2610–2614.Kudryashov N. A., “Refinement of the Korteweg – de Vries equation from the Fermi–Pasta–Ulam model”, Phys. Lett. A, 279 (2015), 2610–2614.Kudryashov N. A., “From the Fermi–Pasta–Ulam model”, Reports on mathematical Physics, 2015, in Press.Kudryashov N. A., “From the Fermi–Pasta–Ulam model”, Reports on mathematical Physics, 2015, in Press.Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Handbook of nonlinear partial differential equations, Second Edition, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2011, 520 pp.Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Handbook of nonlinear partial differential equations, Second Edition, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2011, 520 pp.Волков А. К., Кудряшов Н. А., “Нелинейные волны, описываемые уравнением пятого порядка, полученным из системы Ферми–Паста–Улама”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:4 (2016), 685–693.Volkov A. K., Kudryashov N. A., “Nonlinear waves described by a fifth-order equation derived from the Fermi–Pasta–Ulam system”, Comput. Math. Math. Phys., 56:4 (2016), 680–687.Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Sinelshchikov D. I., “Nonlinear waves in media with fifth order dispersion”, Phys. Lett. A, 375 (2011), 2051–2055.Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Sinelshchikov D. I., “Nonlinear waves in media with fifth order dispersion”, Phys. Lett. A, 375 (2011), 2051–2055.Кащенко С. А., “Нормальная форма для уравнения Кортеверга – де Вриза – Бюргерса”, ДАН, 468:4 (2016), 383.Kashchenko S. A., “Normal form for the KdV–Burgers Equation”, Doklady Mathematics., 93:3 (2016), 331 .Кащенко С.А., “О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией”, ДАН СССР, 299:5 (1988), 1049–1053.Kashchenko S. A., “On the quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion”, Reports Academy of Sciences of the USSR, 299 (1988), 1049–1053 .Kaschenko S.A., “Normalization in the systems with small diffusion”, Int. J. of Bifurcations and chaos, 6:7 (1996), 1093–1109.Kaschenko S.A., “Normalization in the systems with small diffusion”, Int. J. of Bifurcations and chaos, 6:7 (1996), 1093–1109.Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Квазинормальные формы двухкомпонентных сингулярно возмущенных систем”, ДАН, 447:4 (2012), 376–381.Kashchenko I. S. and Kashchenko S. A., “Quasi-Normal Forms of Two-Component Singularly Perturbed Systems”, Doklady Mathematics., 86:3 (2012), 865 .Кащенко И.С., “Мультистабильность в нелинейных параболических системах с малой диффузией”, ДАН, 435:2 (2010), 164–167.Kashchenko I. S., “Multistability in Nonlinear Parabolic Systems with Low Diffusion”, Doklady Mathematics., 82:3 (2010), 878 .Ablowitz M. J. and Segur H., Solitons and the Inverse Scattering Transform, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1981, 425 pp.Ablowitz M. J. and Segur H., Solitons and the Inverse Scattering Transform, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1981, 425 pp.Dodd R. K., Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C., Solitons and Nonlinear Wave Equations., Academic Press, London et al., 1982, 630 pp.Dodd R. K., Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C., Solitons and Nonlinear Wave Equations., Academic Press, London et al., 1982, 630 pp.Newell A. C., Solitons in Mathematics and Physics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1985, 260 pp.Newell A. C., Solitons in Mathematics and Physics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1985, 260 pp.Zabusky N. J., Kruskal M. D., “Interaction of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states”, Phys Rev. Lett., 15 (1965), 240–243.Zabusky N. J., Kruskal M. D., “Interaction of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states”, Phys Rev. Lett., 15 (1965), 240–243.Кудряшов Н. А., Методы нелинейной математической физики, Издательский дом “Интеллект”, Долгопрудный, 2010, 360 с..Kudryashov N. A., Methods of nonlinear mathematical physics, Dolgoprudnyy, Izdatel’skiy dom “Intellekt”, 2010, 360 pp., (in Russian).Korteweg D. J., de Vries G., “On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new tipe of long stationary waves”, Phil. Mag., 39 (1895), 422–443.Korteweg D. J., de Vries G., “On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new tipe of long stationary waves”, Phil. Mag., 39 (1895), 422–443.Burgers J.M., “A mathematical model illustrating the theory of turbulence”, Adv. Appl. Mech., 1 (1948), 171–199.Burgers J.M., “A mathematical model illustrating the theory of turbulence”, Adv. Appl. Mech., 1 (1948), 171–199.Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Введение в теорию колебаний и волн, РХД, Ижевск, 2000, 560 с.Rabinovich R. S., Trubetskov D. I., Introduction in the Theory of Oscillations and Waves, RCD, Izhevsk, 2000, 560 pp., (in Russian).Kudryashov N. A., “On ”new travelling wave solutions” of the KdV and the KdV-Burgers equations”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14(5) (2009), 1891–1900.Kudryashov N. A., “On ”new travelling wave solutions” of the KdV and the KdV-Burgers equations”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14(5) (2009), 1891–1900.Kudryashov N. A., “Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 52:3 (1988), 361–365.Kudryashov N. A., “Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 52:3 (1988), 361–365.Kudryashov N. A., “One method for finding exact solutions of nonlinear differential equations”, Communications in Nonlinear Science and Numerical, 17 (2012), 2248–2253.Kudryashov N. A., “One method for finding exact solutions of nonlinear differential equations”, Communications in Nonlinear Science and Numerical, 17 (2012), 2248–2253.Kudryashov N. A., “Painleve analysis and exact solutions of the Korteweg – de Vries equation with a source”, Appl. Math. Lett., 41 (2015), 41–45.Kudryashov N. A., “Painleve analysis and exact solutions of the Korteweg – de Vries equation with a source”, Appl. Math. Lett., 41 (2015), 41–45.Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Избранные вопросы математической физики и анализа, Тр. МИАН, 285, МАИК, М., 2014, 89–106.Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Autowave processes in continual chains of unidirectionally coupled oscillators”, Proc. Steklov Inst. Math., 285 (2014), 81–98.Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, ТМФ, 181:2 (2014), 254–275.Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffering effect in continuous chains of unidirectionally coupled generators”, Theoret. and Math. Phys., 181:2 (2014), 1349–1366.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.