maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-568-576mais-390Research ArticleОригинальные статьиArticlesЧисленное исследование начально-краевой задачи Неймана для сингулярно возмущенного параболического уравненияNumerical Study of an Initial-Boundary Value Neumann Problem for a Singularly Perturbed Parabolic EquationШишкинаЛ. П.ShishkinaL. P.

математик 1-й категории

lida@convex.ruИнститут математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, ул. С. Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620990 РоссияРоссияN.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, 16 S. Kovalevskaya str., Yekaterinburg 620990, RussiaRussian Federation201620102016235568576Copyright © Шишкина Л.П., 20162016Шишкина Л.П.Shishkina L.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/390

Для одномерного сингулярно возмущенного параболического уравнения с возмущающим параметром ε при старшей производной, ε ∈ (0, 1], рассматривается начально-краевая задача на отрезке с условием Неймана на границе. В этой задаче, когда параметр ε стремится к нулю, в окрестностях боковой границы появляются пограничные слои. В работе исследуется сходимость решения и его регулярной и сингулярной компонент. Показано, что стандартные разностные схемы на равномерных сетках, используемые для численного решения этой задачи, не сходятся ε-равномерно. Ошибка сеточного решения неограниченно растет, когда параметр ε → 0. Использование специальной разностной схемы на сетке Шишкина — кусочно-равномерной по x сетке, сгущающейся в окрестностях пограничных слоев, и равномерной по t, построенных с использованием монотонных сеточных аппроксимаций дифференциальной задачи — позволяет найти численное решение этой задачи, сходящееся в равномерной норме ε-равномерно. Результаты численных экспериментов подтверждают теоретические результаты.

For a singularly perturbed one-dimensional parabolic equation with a perturbation parameter ε multiplying the highest-order derivative in the equation, ε ∈ (0,1], an initial-boundary value Neumann problem is considered on a segment. In this problem, when the parameter ε tends to zero, boundary layers appear in neighborhoods of the lateral boundary. In the paper, convergence of the problem solution and its regular and singular components are studied. It is shown that standard finite difference schemes on uniform grids used to numerically solve this problem do not converge ε-uniformly. The error in the grid solution grows unboundedly when the parameter ε → 0. The use of a special difference scheme on Shishkin grid which is a piecewise-uniform mesh with respect to x condensing in neighborhoods of boundary layers and a uniform mesh in t, constructed by using monotone grid approximations of the differential problems, allows us to find a numerical solution of this problem convergent in the maximum norm ε-uniformly. The results of the numerical experiments confirm the theoretical results.

начально-краевая задача Нейманасингулярно возмущенное параболическое уравнениекусочно-равномерная сеткаравномерная нормаε-равномерная сходимостьinitial-boundary value Neumann problemsingularly perturbed parabolic equationpiecewise- uniform gridmaximum normε-uniform convergenceReferencesSamarskii A. A., Theory of Difference Schemes, Nauka (in Russian), Moscow, 1989.Samarskii A. A., Theory of Difference Schemes, Nauka (in Russian), Moscow, 1989.Shishkin G.I., Shishkina L.P., Difference Methods for Singular Perturbation Problems, CRC Press, Boca Raton, 2009.Shishkin G.I., Shishkina L.P., Difference Methods for Singular Perturbation Problems, CRC Press, Boca Raton, 2009.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.