maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-577-586mais-391Research ArticleОригинальные статьиArticlesКомпьютерная разностная схема для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии при наличии компьютерных возмущенийComputer Difference Scheme for a Singularly Perturbed Reaction- Diffusion Equation in the Presence of PerturbationsШишкинГ. И.ShishkinG. I.

доктор физ.-мат. наук

doctor of science

shishkin@imm.uran.ruИнститут математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, ул. С. Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620990 РоссияРоссияN.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, 16 S. Kovalevskaya str., Yekaterinburg 620990, RussiaRussian Federation201620102016235577586Copyright © Шишкин Г.И., 20162016Шишкин Г.И.Shishkin G.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/391

Для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с возмущающим параметром ε2, ε ∈ (0,1], при старшей производной рассматривается начально-краевая задача Дирихле. Для этой задачи исследуется стандартная разностная схема, построенная на основе монотонных сеточных аппроксимаций задачи на равномерных сетках, при наличии компьютерных возмущений. Исследуются возмущения сеточных решений, порождаемые компьютерными возмущениями, то есть вычислениями на компьютере. Получены условия, накладываемые на допустимые компьютерные возмущения, при которых точность возмущенного компьютерного решения по порядку такая же, как у решения невозмущенной разностной схемы, то есть стандартной схемы при отсутствии возмущений. Такого типа схемы с контролируемыми компьютерными возмущениями относятся к компьютерным разностным схемам, называемым также надежными разностными схемами.

In this paper, for a singularly perturbed parabolic reaction-diffusion equation with a perturbation parameter <i>ε</i><sup>2</sup>, <i>ε</i> ∈ (0,1], multiplying the highest-order derivative in the equation, an initial-boundary value Dirichlet problem is considered. For this problem, a standard difference scheme constructed by using monotone grid approximations of the differential problem on uniform grids, is studied in the presence of computer perturbations. Perturbations of grid solutions are studied, which are generated by computer perturbations, i.e., the computations on a computer. The conditions imposed on admissible computer perturbations are obtained under which the accuracy of the perturbed computer solution is the same by order as the solution of an unperturbed difference scheme, i.e., a standard scheme in the absence of perturbations. The schemes of this type with controlled computer perturbations belong to computer difference schemes, also named reliable difference schemes.

начально-краевая задачасингулярно возмущенное параболическое уравнениеуравнение реакции-диффузиистандартная разностная схемаравномерная сеткакомпьютерные возмущениякомпьютерная разностная схемаinitial–boundary value problemsingularly perturbed parabolic equationreaction-diffusion equationstandard difference schemeuniform gridcomputer perturbationscomputer difference schemeReferencesSamarskii A. A., Theory of Difference Schemes, Nauka (in Russian), Moscow, 1989.Samarskii A. A., Theory of Difference Schemes, Nauka (in Russian), Moscow, 1989.Шишкин Г. И., “Компьютерная разностная схема для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии”, Журн. вычисл. математики и мат. физики, 54:8 (2014), 1256–1269.Shishkin G. I., “Computer Difference Scheme for a Singularly Perturbed Convection-Diffusion Equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 54:8 (2014), 1221–1233.Шишкин Г. И., “Стандартная схема для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии при компьютерных возмущениях”, Доклады Академии наук, 462:1 (2015), 26–29.Shishkin G. I., “Standard Scheme for a Singularly Perturbed Parabolic Convection-Diffusion Equation under Computer Perturbation”, Doklady Mathematics, 91:3 (2015), 273–276.Шишкин Г. И., “Разностная схема для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии при наличии возмущений”, Журн. вычисл. математики и мат. физики, 55:11 (2015), 74–90.Shishkin G. I., “Difference Scheme for a Singularly Perturbed Parabolic Convection-Diffusion Equation in the Presence of Perturbations”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 55:11 (2015), 1876–1892.Shishkin G. I., Shishkina L. P., Difference Methods for Singular Perturbation Problems, CRC Press, Boca Raton, 2009.Shishkin G. I., Shishkina L. P., Difference Methods for Singular Perturbation Problems, CRC Press, Boca Raton, 2009.Шишкин Г. И., “Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами при возмущении данных”, Журн. вычисл. математики и мат. физики, 41:5 (2001), 692–707.Shishkin G. I., “Grid approximation of singularly perturbed equations with convective terms under perturbation of data”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 41:5 (2001), 649–664.Шишкин Г. И., “Обусловленность разностных схем для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии”, Журн. вычисл. математики и мат. физики, 48:5 (2008), 813–830.Shishkin G. I., “Conditioning of finite difference schemes for a singularly perturbed convec-tion-diffusion parabolic equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 48:5 (2008), 769–785.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.