maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-587-594mais-392Research ArticleОригинальные статьиArticlesОб отсутствии и разрушении решений в некоторых сингулярно возмущённых задачах со сменой устойчивостиAbsence and Blow-Up of Solutions to Singular Perturbation Problems in the Case of Exchange of StabilitiesТерентьевМ. А.TerentyevM. A.

канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. 

PhD, senior researcher

m.terentyev@physics.msu.ruМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 119991, Россия, ГСП–1, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2РоссияLomonosov Moscow State University, GSP-1, Leninskie Gory, Moscow 119991, Russian FederationRussian Federation201620102016235587594Copyright © Терентьев М.А., 20162016Терентьев М.А.Terentyev M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/392

В работе рассматриваются некоторые сингулярно возмущённые задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения (этот случай называют также случаем «смены устойчивости»). Такие задачи нередко встречаются в качестве моделей химической кинетики. Имеется уже немало работ, в которых устанавливается существование и асимптотическое поведение решений задач рассматриваемого класса. Типичное решение вследствие смены устойчивости приближается к негладкому (но непрерывному) составному корню вырожденного уравнения по мере уменьшения параметра возмущения. При этом в ряде задач регулярная компонента возмущения доминирует над сингулярной, что требует дополнительного условия на регулярную компоненту, обеспечивающего устойчивость составного корня в окрестности точки пересечения. Замена этого условия на противоположное приводит к отсутствию или разрушению решения задачи при достаточно малом значении параметра возмущения. В работе доказываются некоторые результаты такого рода с применением метода нелинейной ёмкости и обсуждается их роль в разработке вычислительных алгоритмов для рассматриваемого класса задач.

We consider some singular perturbation problems in the case where a degenerate equation has intersecting roots (this case is also referred to as ‘ the exchange of stabilities’). Such problems often occur as models in chemical kinetics. There are lots of works that establish the existence and asymptotic behavior of solutions to such problems. Due to exchange of stabilities, a typical solution approaches the non-smooth (but continuous) composite root of the degenerate equation as the perturbation parameter gets smaller. In a number of problems a regular part of the perturbative term dominates the singular one, so an additional condition on the regular part is needed to improve the stability of a composite root in the vicinity of the intersection point. Inversion of that condition results in a loss or a blow-up of the solution for sufficiently small values of the perturbation parameter. We prove some results of this kind by means of the nonlinear capacity argument and discuss their role in developing numerical algorithms for the problems under consideration.

малый параметрсингулярные возмущениянеизолированный кореньсмена устойчивостинесуществованиеразрушениенелинейная ёмкостьsmall parametersingular perturbationnon-isolated rootexchange of stabilitiesnonexistenceblow-upnonlinear capacityReferencesБутузов В. Ф., Терентьев М. А., “О сингулярно возмущенной эллиптической краевой задаче в случае неизолированного корня вырожденного уравнения”, Матем. заметки, 78:1 (2005), 26–36.Butuzov V. F. & Terentev M. A., “Singular Perturbation Elliptic Boundary-Value Problems in the Case of a Nonisolated Root of the Degenerate Equation”, Math. Notes, 78:1 (2005), 23–32.Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., “Сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения второго порядка в случае смены устойчивости”, Матем. заметки, 63:3 (1998), 354–362.Butuzov V. F., Nefedov N. N., “A singularly perturbed boundary value problem for a second-order equation in the case of variation of stability”, Math. Notes, 63:3 (1998), 311–318.Butuzov V. F., Nefedov N. N., Schneider K. R., “Singularly Perturbed Elliptic Problems in the Case of Exchange of Stabilities”, Journal of Differential Equations, 169:2 (2001), 373–395.Butuzov V. F., Nefedov N. N., Schneider K. R., “Singularly Perturbed Elliptic Problems in the Case of Exchange of Stabilities”, Journal of Differential Equations, 169:2 (2001), 373–395.Karali G., Sourdis C., “Radial and bifurcating non-radial solutions for a singular perturbation problem in the case of exchange of stabilities”, Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 29:2 (2012), 131–170.Karali G., Sourdis C., “Radial and bifurcating non-radial solutions for a singular perturbation problem in the case of exchange of stabilities”, Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 29:2 (2012), 131–170.Митидиери Э., Похожаев С. И., “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, М., 2001, 3–383.Mitidieri E., Pokhozhaev S. I., “A priori estimates and blow-up of solutions to nonlinear partial differential equations and inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math., 234 (2001), 1–362.Бутузов В. Ф., “Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:3 (2006), 433–444.Butuzov V. F., “On the stability and domain of attraction of asymptotically nonsmooth stationary solutions to a singularly perturbed parabolic equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46:3 (2006), 413–424.Pao C. V., Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press, New York/London, 1992.Pao C. V., Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press, New York/London, 1992.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.