maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-5-620-634mais-395Research ArticleОригинальные статьиArticlesРасслоенное произведение коммутативных алгебр: образующие и соотношенияFibred Product of Commutative Algebras: Generators and RelationsТимофееваН. В.TimofeevaN. V.

канд. физ.-мат. наук, доцент

PhD

ntimofeeva@list.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 РоссияРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, RussiaRussian Federation201620102016235620634Copyright © Тимофеева Н.В., 20162016Тимофеева Н.В.Timofeeva N.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/395

В работе дан и обоснован метод прямого вычисления универсального (расслоенного) произведения в категории коммутативных ассоциативных алгебр конечного типа с единицей над полем. Поле коэффициентов не предполагается алгебраически замкнутым и может иметь любую характеристику.Формирование расслоенного произведения коммутативных ассоциативных алгебр составляет алгебраическую сторону процедуры склеивания алгебраических схем по некоторому отношению эквивалентности в алгебраической геометрии. Если исходные алгебры являются конечномерными векторными пространствами, то размерность их расслоенного произведения подчиняется формуле, аналогичной формуле размерности суммы подпространств. Геометрически конечномерный случай поставляет строгую версию объединения двух наборов точек, имеющих общую часть. Метод использует задание алгебр образующими и определяющими соотношениями на входе и выдает аналогичное представление произведения на выходе. Он пригоден для компьютерной реализации.Произведение алгебр определено корректно: выбор иных представлений тех же алгебр приводит к изоморфной алгебре-произведению.Также показано, что алгебра-произведеное обладает свойством универсальности, т.е. является настоящим расслоенным произведением. Входные данные -- это тройка алгебр и пара гомоморфизмов\(A_1\stackrel{f_1}{\to}A_0\stackrel{f_2}{\leftarrow}A_2\). Алгебры и гомоморфизмы могут быть заданы произвольным образом. Показано, что для вычисления расслоенного произведения достаточно ограничиться случаем, когда гомоморфизмы \(f_i,i=1,2\) сюръективны, и описан способ редукции к сюръективному случаю. Также рассмотрено правило выбора образующих и соотношений для исходных алгебр.

Статья публикуется в авторской редакции.

The method of direct computation of the universal (fibred) product in the category of commutative associative algebras of finite type with unity over a field is given and proven. The field of coefficients is not supposed to be algebraically closed and can be of any characteristic. Formation of fibred product of commutative associative algebras is an algebraic counterpart of gluing algebraic schemes by means of some equivalence relation in algebraic geometry. If initial algebras are finite-dimensional vector spaces, the dimension of their product obeys a Grassmann-like formula. A finite-dimensional case means geometrically the strict version of adding two collections of points containing a common part.

The method involves description of algebras by generators and relations on input and returns similar description of the product algebra. It is "ready-to-eat"\, even for computer realization. The product algebra is well-defined: taking other descriptions of the same algebras leads to isomorphic product algebra. Also it is proven that the product algebra enjoys universal property, i.e. it is indeed a fibred product. The input data are a triple of algebras and a pair of homomorphisms \(A_1\stackrel{f_1}{\to}A_0\stackrel{f_2}{\leftarrow}A_2\). Algebras and homomorphisms can be described in an arbitrary way. We prove that for computing the fibred product it is enough to restrict to the case when $f_i,i=1,2$ are surjective and describe how to reduce to the surjective case. Also the way of choosing generators and relations for input algebras is considered.

Paper is published in the author's wording.

коммутативные алгебры над полемаффинные схемы Гротендикауниверсальное произведениеамальгамированная суммаcommutative algebras over a fieldaffine Grothendieck’ schemesuniversal productamalgamated sumReferencesR. Hartshorne, Algebraic Geometry, graduate texts in Math.: 52, Springer-Verlag, New York, 1977.R. Hartshorne, Algebraic Geometry, graduate texts in Math.: 52, Springer-Verlag, New York, 1977.V.I. Danilov, “Algebraic manifolds and schemes. (Russian)”, Sovremennye Problemy Matematiki. Fundamentalnye napravleniya (Contemporary Problems of Math. Fundamental Directions). Itogi nauki i tehn. VINITI RAN USSR, 23 (1988), 172–302.V.I. Danilov, “Algebraic manifolds and schemes. (Russian)”, Sovremennye Problemy Matematiki. Fundamentalnye napravleniya (Contemporary Problems of Math. Fundamental Directions). Itogi nauki i tehn. VINITI RAN USSR, 23 (1988), 172–302.D. Knutson, Algebraic Spaces, Lecture Notes in Mathematics, 203, Springer, 1971.D. Knutson, Algebraic Spaces, Lecture Notes in Mathematics, 203, Springer, 1971.D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, Second enlarged Ed., SpringerVerlag, Berlin –Heidelberg – New York, 1982.D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, Second enlarged Ed., SpringerVerlag, Berlin –Heidelberg – New York, 1982.S. I. Gel’fand, Yu. I. Manin, “Homological algebra (Russian) (Gomologicheskaya algebra)”, Sovremennye Problemy Matematiki. Fundamental’nye napravleniya (Contemporary Problems of Math. Fundamental Directions). Itogi nauki i tehn. VINITI RAN USSR, 38 (1989), 5–238.S. I. Gel’fand, Yu. I. Manin, “Homological algebra (Russian) (Gomologicheskaya algebra)”, Sovremennye Problemy Matematiki. Fundamental’nye napravleniya (Contemporary Problems of Math. Fundamental Directions). Itogi nauki i tehn. VINITI RAN USSR, 38 (1989), 5–238.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.