maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2016-6-784-803mais-415Research ArticleОригинальные статьиArticlesБифуркации периодических решений уравнения Мэкки–ГлассаBifurcation of Periodic Solutions of the Mackey– Glass Equationhttps://orcid.org/0000-0003-1796-0190КубышкинЕ. П.KubyshkinE. P.

д-р. физ.-мат. наук, профессор, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия

Doctor, Professor, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, Russia

kubysh.e@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0003-2529-6277МоряковаА. Р.MoryakovaA. R.

аспирант, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия

graduate student, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, Russia

alyona_moryakova@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201620122016236784803Copyright © Кубышкин Е.П., Морякова А.Р., 20162016Кубышкин Е.П., Морякова А.Р.Kubyshkin E.P., Moryakova A.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/415

В работе изучаются бифуркации периодических решений из состояния равновесия известного уравнения Мэкки–Гласса, предложенного в качестве математической модели изменения плотности белых клеток крови. Уравнение, записанное в безразмерных переменных, содержит малый параметр при производной, что делает его сингулярным. К уравнению применяется метод равномерной нормализации, позволяющий свести исследование поведения решений в окрестности состояния равновесия к анализу счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, из которых выделяются уравнения быстройй и медленныхх переменных. Показано, что состояния равновесия уравнений медленныхх переменных определяют периодические решения. Анализ состояний равновесия позволяет изучить бифуркации периодических решений в зависимости от параметров уравнения и их устойчивость. Показана возможность одновременной бифуркации большого числа устойчивых периодических решений. Это явление носит название бифуркации мультистабильности.

We study the bifurcation of the equilibrium states of periodic solutions for the Mackey– Glass equation. This equation is considered as a mathematical model of changes in the density of white blood cells. The equation written in dimensionless variables contains a small parameter at the derivative, which makes it singular. We applied the method of uniform normalization, which allows us to reduce the study of the solutions behavior in the neighborhood of the equilibrium state to the analysis of the countable system of ordinary differential equations. We poot out the equations in ”fast” and ”slow” variables from this system. Equilibrium states of the ”slow” variables equations determine the periodic solutions. The analysis of equilibrium states allows us to study the bifurcation of periodic solutions depending on the parameters of the equation and their stability. The possibility of simultaneous bifurcation of a large number of stable periodic solutions is shown. This situation is called the multistability phenomenon.

уравнение Мэкки–Глассапериодические решениябифуркация мультистабильностиthe Mackey–Glass equationperiodic solutionsmultistability bifurcationReferencesGlass L., Mackey M., From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life, Princeton: Princeton University Press, 1988.Glass L., Mackey M., From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life, Princeton: Princeton University Press, 1988.Liz E., Trofimchuk E., Trofimchuk S., “Mackey–Glass type delay differential equations near the boundary of absolute stability”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 275:2 (2002), 747–760.Liz E., Trofimchuk E., Trofimchuk S., “Mackey–Glass type delay differential equations near the boundary of absolute stability”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 275:2 (2002), 747–760.Su H., Ding X., Li W., “Numerical bifurcation control of Mackey–Glass system”, Applied Mathematical Modelling, 35:27 (2011), 3460–3472.Su H., Ding X., Li W., “Numerical bifurcation control of Mackey–Glass system”, Applied Mathematical Modelling, 35:27 (2011), 3460–3472.Berezansky L., Braverman E., “Mackey-glass equation with variable coefficients”, Computers & Mathematics with Applications, 51:1 (2006), 1–16.Berezansky L., Braverman E., “Mackey-glass equation with variable coefficients”, Computers & Mathematics with Applications, 51:1 (2006), 1–16.Wu X.-M., Li J.-W., Zhou H.-Q., “A necessary and sufficient condition for the existence of positive periodic solutions of a model of hematopoiesis”, Computers & Mathematics with Applications, 54:6 (2007), 840–849.Wu X.-M., Li J.-W., Zhou H.-Q., “A necessary and sufficient condition for the existence of positive periodic solutions of a model of hematopoiesis”, Computers & Mathematics with Applications, 54:6 (2007), 840–849.Junges L., Gallas J., “Intricate routes to chaos in the Mackey–Glass delayed feedback system”, Physics Letters A, 376:30–31 (2012), 2109–2116.Junges L., Gallas J., “Intricate routes to chaos in the Mackey–Glass delayed feedback system”, Physics Letters A, 376:30–31 (2012), 2109–2116.Amil P., Cabeza C., Masoller C., Marti A., “Organization and identification of solutions in the time-delayed Mackey-Glass model”, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 25:4 (2015), 043112.Amil P., Cabeza C., Masoller C., Marti A., “Organization and identification of solutions in the time-delayed Mackey-Glass model”, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 25:4 (2015), 043112.Кубышкин Е.П., Назаров А.Ю., “Анализ колебательных решений одного нелинейного сингулярно возмущенного дифференциально-разностного уравнения”, Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 5:2 (2012), 118–125.Kubyshkin E. P., Nazarov A. Yu., “Analysis of oscillatory solutions of a nonlinear singularly perturbed differential-difference equation”, Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo, 5:2 (2012), 118–125, (in Russian).Bellman R., Cooke K. L., Differential Difference Equations, New York: Academic Press, 1963.Bellman R., Cooke K. L., Differential Difference Equations, New York: Academic Press, 1963.Шиманов С.Н., “К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием”, Прикл. математика и механика, 23:5 (1959), 836–844.Shimanov S. N., “To theory of oscillations of quasi-linear systems with delay”, J. Appl. Math. Mech., 23:5 (1959), 836– 844, (in Russian).Krasnoselskii M. A., Vainikko G. M., Zabreyko R. P., Ruticki Ya. B., Stetsenko V. Ya, Approximate solution of operator equations, Springer, 1972.Krasnoselskii M. A., Vainikko G. M., Zabreyko R. P., Ruticki Ya. B., Stetsenko V. Ya, Approximate solution of operator equations, Springer, 1972.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.