maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-1-13-30mais-423Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотические законы распределений собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядкаAsymptotic of Eigenvalues of Periodic and Antiperiodic Boundary Value Problem for Second Order Differential Equationshttps://orcid.org/0000-0002-8777-4302КащенкоСергей АлександровичKashchenkoSergey A.

доктор физико-математических наук, профессор, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003;

Каширское ш., 31, г. Москва, 115409

doctor of science, professor, 14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003;

Kashirskoye shosse, 31, Moscow, 115409

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»РоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; National Research Nuclear University MEPhIRussian Federation2017210220172411330Copyright © Кащенко С.А., 20172017Кащенко С.А.Kashchenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/423

Рассматривается асимптотическое распределение собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. Это дает возможность получить асимптотики зон устойчивости и неустойчивости решений. Показано, что в отсутствие точек поворота (\(r(t)>0\)) длины зон неустойчивости стремятся к нулю с ростом их номера, а длины зон устойчивости -- к некоторой положительной величине. Ситуация, когда \(r(t)\ge 0\) и имеются нули \(r(t)\), приводит к тому, что длины зон устойчивости и зон неустойчивости имеют конечный ненулевой предел при неограниченном увеличении номера соответствующей зоны. Если же функция \(r(t)\) знакопеременна, то длины всех зон устойчивости стремятся к нулю, а длины зон неустойчивости -- к некоторым конечным величинам. Эти выводы позволили сформулировать ряд интересных критериев устойчивости и неустойчивости решений линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами.

Приведенные результаты иллюстрируются содержательным примером. Методика исследования основана на детальном изучении так называемых специальных эталонных уравнений и последующем сведении исходных уравнений к тому или иному виду эталонных уравнений. При этом используются асимптотические методы теории сингулярных возмущений, а также известные свойства ряда специальных функций.

The article considers asymptotic distribution of characteristic constants in periodic and antiperiodic boundary-value problems for the second-order linear equation with periodic coefficients. It allows getting asymptotics of stability and instability zones of solutions. It was shown that in the absence of turning points (\(r(t) > 0\)) the instability zones lengths converge to zero with their number increasing, and the stability zones lengths converge to a positive quantity. The situation, when (\(r(t) \geqslant 0\)) and there are zeroes \(r(t),\) results in the fact that the lengths of stability and instability zones have a finite nonzero bound at an unbounded increase of the number of the corresponding zone. But if the function \(r(t)\) is alternating, the lengths of all stability zones converge to zero, and the lengths of instability zones converge to some finite quantities. These conclusions allowed to formulate a series of interesting criteria of stability and instability of solutions of the second-order equation with periodic coefficients. The results given are illustrated by a substantial example. The methods of investigation are based on a detailed study of the so-called special standard equations and the consequent reduction of original equations to any particular type of standard equations. Here, asymptotic methods of the theory of singular perturbance, as well as certain properties of a series of special functions are used.

сингулярно возмущенное уравнениеточки поворотаасимптотикакраевая задачасобственные числаsingularly perturbed equationturning pointsasymptoticboundary value problemeigenvaluesReferencesЯкубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972.Yakubovich V. A., Starzhinskiy V. M., Lineynye differentsialnye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972, (in Russian).Ляпунов А. М., “Об одном линейном дифференциальном уравнении второго порядка”, Собр. соч., 2, Изд-во АН СССР, М.; Л., 1956., 401–403.Lyapunov A. M., “Ob odnom lineynom differentsialnom uravnenii vtorogo poryadka”, Sobr. soch., 2, Izd-vo AN SSSR, M.; L., 1956., 401–403, (in Russian).Ляпунов А. М., “Об одном трансцендентном уравнении и о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с периодическими коэффициентами”, Собр. соч., 2, Изд-во АН СССР, М.; Л., 1956, 404–406.Lyapunov A. M., “Ob odnom transtsendentnom uravnenii i o lineynykh differentsialnykh uravneniyakh vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami”, Sobr. soch., 2, Izd-vo AN SSSR, M.; L., 1956, 404–406, (in Russian).Смирнов В. И., “Научный архив А.М. Ляпунова по вопросам устойчивости и теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Тр. III Всесоюзн. матем. съезда, I, Изд-во АН СССР, М., 1956, 236.Smirnov V. I., “Nauchnyy arkhiv A.M. Lyapunova po voprosam ustoychivosti i teorii obyknovennykh differentsialnykh uravneniy”, Tr. III Vsesoyuzn. matem. sezda, I, Izd-vo AN SSSR, M., 1956, 236, (in Russian).Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.Koddington E., Levinson I., Teoriya obyknovennykh differentsialnykh uravneniy, IL, M., 1958, (in Russian).Дородницын А. А., “Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка”, УМН, 7, 6:52 (1952), 3–96.Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskie zakony raspredeleniya sobstvennykh znacheniy dlya nekotorykh osobykh vidov differentsialnykh uravneniy vtorogo poryadka”, UMN, 7, 6:52 (1952), 3–96, (in Russian).Тихонов А. Н., “Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных”, Математический сборник, 31 (73):3 (1952), 575–586.Tikhonov A. N., “Systems of differential equations containing small parameters in the derivatives”, Mat. Sb., 31:3 (1952), 575–586.Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Федорюк М. В., “Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Итоги науки. Математический анализ 1967, ВИНИТИ АН СССР, М., 1969.Butuzov V. F., Vasil’eva A. B., Fedoryuk M. V., “Asymptotic methods in the theory of ordinary differential equations”, USSR Comput. Math. Math. Phys., 8 (1970), 1–82.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973.Vasil’eva A. B., Butuzov V. F., Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy, Nauka, M., 1973, (in Russian).Крейн М.Г., “Основные положения теории λ- зон устойчивости канонических систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами”, Cборник Памяти А.А. Андронова, Изд-во АН СССР, М., 1955.Kreyn M.G., “Osnovnye polozheniya teorii λ- zon ustoychivosti kanonicheskikh sistem lineynykh differentsialnykh uravneniy s periodicheskimi koeffitsientami”, Sbornik Pamyati A.A. Andronova, Izd-vo AN SSSR, M., 1955, (in Russian).Кащенко С. А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39.Kashchenko S. A., “Predelnye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta, 10, 1974, 3–39, (in Russian).Кащенко С. А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 40–64.Kashchenko S. A., “Asimptotika sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. unta, 10, 1974, 40–64, (in Russian).Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of the First Boundary-Value Problem forKashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of the First Boundary-Value Problem for Singularly Perturbed Second-Order Differential Equation with Turning Points”, Automatic Control and Computer Sciences, 50:7 (2016), 636–656.Singularly Perturbed Second-Order Differential Equation with Turning Points”, Automatic Control and Computer Sciences, 50:7 (2016), 636–656.Kashchenko S. A., “Asimptotika sobstvennykh znacheniy periodicheskoy i antiperiodicheskoy kraevykh zadach dlya singulyarno vozmushchennykh differentsialnykh uravneniy vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vestnik Yarosl. un-ta, 13, 1975, 20–83, (in Russian).Кащенко С. А., “Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Вестник Яросл. ун-та, 13, 1975, 20–83.Kashchenko S. A., “Asimptoticheskie zakony raspredeleniya sobstvennykh znacheniy periodicheskoy i antiperiodicheskoy kraevoy zadachi dlya differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Issled. po ustoych. i teorii koleb., YarGU, Yaroslavl, 1976, 95–113, (in Russian).Кащенко С. А., “Асимптотические законы распределения собственных значений периодической и антипериодической краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Исслед. по устойч. и теории колеб., Ярославль: ЯрГУ, 1976, 95–113.Кащенко С. А., “Асимптотические законы распределения собственных значений периодической и антипериодической краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Исслед. по устойч. и теории колеб., Ярославль: ЯрГУ, 1976, 95–113.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.