maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-1-31-38mais-424Research ArticleОригинальные статьиArticlesСуществование и устойчивость контрастных структур в многомерных задачах реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной нелинейностиExistence and Stability of the Solutions with Internal Layers in Multidimensional Problems of the Reaction-Diffusion-Advection Type with Balanced Nonlinearityhttps://orcid.org/0000-0002-9255-7353ДавыдоваМарина АлександровнаDavydovaMarina A.

канд. физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник, физический факультет,

Ленинские горы, д. 1, стр. 2, г. Москва, 119991

PhD, Faculty of Physics,

1, bld. 2 Leninskiye Gory, Moscow 119991

m.davydova@bk.ruНефедовНиколай НиколаевичNefedovNikolay N.

доктор физ.-мат. наук, профессор, 

Ленинские горы, д. 1, стр. 2, г. Москва, 119991

Professor,

1, bld. 2 Leninskiye Gory, Moscow 119991

nefedov@phys.msu.ruМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2017210220172413138Copyright © Давыдова М.А., Нефедов Н.Н., 20172017Давыдова М.А., Нефедов Н.Н.Davydova M.A., Nefedov N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/424

В настоящей работе рассматривается многомерная сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения эллиптического типа, называемого в приложениях стационарным уравнением реакция-диффузия-адвекция. Формулируются основные условия существования решений с внутренними переходными слоями (контрастных структур) и строятся асимптотические приближения произвольного порядка точности таких решений. Применяется эффективный алгоритм определения положения поверхности перехода, позволяющий распространить наш подход на более сложный случай сбалансированных адвекции и реакции (так называемый критический случай). Для обоснования построений асимптотики используется и развивается на этот класс задач асимптотический метод дифференциальных неравенств, позволяющий также установить устойчивость по Ляпунову решений с внутренними переходными слоями как стационарных решений соответствующих параболических задач.

In the present paper, we consider a multidimensional singularly perturbed problem for an elliptic equation referred to as the stationary reaction-diffusion-advection equation in applications. We formulate basic conditions of the existence of solutions with internal transition layers (contrust structures), and we construct an asymptotic approximation of an arbitrary-order accuracy to such solutions. We use a more efficient method for localizing the transition surface, which permits one to develop our approach to a more complicated case of balanced advection and reaction (the so-called critical case). To justify the constructed asymptotics, we use and develop, to this class of problems, an asymptotic method of differential inequalities, which also permits one to prove the Lyapunov stability of such solutions, as stationary solutions of the corresponding parabolic problems.

уравнения реакция-диффузия-адвекцияконтрастные структурыproblems of the reaction-diffusion-advection typesolutions with internal layerscontrust structuresРФФИReferencesНефедов Н. Н., “Метод дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущенных задач с контрастными структурами типа ступеньки в критическом случае”, Дифференц. уравнения, 32:11 (1996), 1529–1537.Nefedov N. N., “The method of differential inequalities for nonlinear singularly perturbed problems with contrast structures of step type in the critical case”, Differ. Equ., 32:11 (1996), 1526–1534.Нефедов Н. Н., Давыдова М. А., “Контрастные структуры в многомерных сингулярно возмущенных задачах реакция-диффузия-адвекция”, Дифференц. уравнения, 48:5 (2012), 738–748.Nefedov N. N., Davydova M. A., “Contrast structures in multidimensional singularly perturbed reaction-diffusion-advection problems”, Differ. Equ., 48:5 (2012), 745-755.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., “Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями”, Тр. МИАН, 268 (2010), 268–283.Vasil’eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N., “Singularly perturbed problems with boundary and internal layers”, Proc. Steklov Inst. Math., 268 (2010), 258–273.Davydova M. A., “Existence and stability of solutions with boundary layers in multidimensional singularly perturbed reaction-diffusion-advection problems”, Math. Notes, 98:6 (2015), 909–919.Davydova M. A., “Existence and stability of solutions with boundary layers in multidimensional singularly perturbed reaction-diffusion-advection problems”, Math. Notes, 98:6 (2015), 909–919.Нефедов Н. Н., Давыдова М. А., “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных квазилинейных уравнениях реакция-диффузия-адвекция”, Дифференц. уравнения, 49:6 (2013), 715–733.Nefedov N. N., Davydova M. A., “Contrast structures in singularly perturbed quasilinear reaction-diffusion-advection equations”, Differ. Equ., 49:6 (2013), 688–706.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.