maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-1-64-81mais-426Research ArticleОригинальные статьиArticlesОб асимптотике решений гармонического осциллятора с интегральным возмущениемAsymptotics for Solutions of Harmonic Oscillator with Integral Perturbationhttps://orcid.org/0000-0002-9102-9436НестеровПавел НиколаевичNesterovPavel N.

канд. физ.-мат. наук, доцент,

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 

PhD,

14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003

nesterov.pn@gmail.comЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2017210220172416481Copyright © Нестеров П.Н., 20172017Нестеров П.Н.Nesterov P.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/426

В работе строятся асимптотические формулы для решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением при стремлении независимой переменной к бесконечности. Особенностью рассматриваемого интегрального возмущения является колебательно убывающий характер его ядра. Предполагается, что интегральное ядро является вырожденным. Данное обстоятельство позволяет свести исходное интегро-дифференциальное уравнение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотических формул для базисных решений полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений используется специальный метод асимптотического интегрирования линейных динамических систем с колебательно убывающими коэффициентами. В результате серии специальных преобразований система обыкновенных дифференциальных уравнений приводится к так называемому L-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы L-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона. Полученные асимптотические формулы позволяют выявить так называемые резонансные частоты, т. е. частоты колебательной составляющей ядра, при которых у исходного интегро-дифференциального уравнения имеются неограниченные решения. Как оказывается, эти частоты несколько отличаются от резонансных частот в адиабатическом осцилляторе с синусоидальной колебательной составляющей убывающего во времени возмущения.

We construct the asymptotics for solutions of a harmonic oscillator with integral perturbation when the independent variable tends to infinity. The specific feature of the considered integral perturbation is an oscillatory decreasing character of its kernel. We assume that the integral kernel is degenerate. This makes it possible to reduce the initial integro-differential equation to an ordinary differential system. To get the asymptotic formulas for the fundamental solutions of the obtained ordinary differential system, we use a special method proposed for the asymptotic integration of linear dynamical systems with oscillatory decreasing coefficients. By the use of the special transformations we reduce the ordinary differential system to the so called L-diagonal form. We then apply the classical Levinson’s theorem to construct the asymptotics for the fundamental matrix of the L-diagonal system. The obtained asymptotic formulas allow us to reveal the resonant frequencies, i. e., frequencies of the oscillatory component of the kernel that give rise to unbounded oscillations in the initial integro-differential equation. It appears that these frequencies differ slightly from the resonant frequencies that occur in the adiabatic oscillator with the sinusoidal component of the time-decreasing perturbation.

асимптотикаинтегро-дифференциальные уравнения типа Вольтеррагармонический осцилляторколебательно убывающие ядраметод усреднениятеорема ЛевинсонаasymptoticsVolterra integro-differential equationsharmonic oscillatoroscillatory decreasing kernelsmethod of averagingLevinson’s theoremгрант Президента РФReferencesБеллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1954; English transl.: [Bellman R., Stability theory of differential equations, McGrawHill, New York, 1953.]Bellman R., Stability theory of differential equations, McGrawHill, New York, 1953.Бурд В.Ш., Каракулин В. А., “Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами”, Матем. заметки, 64:5 (1998), 658–666.Burd V. Sh., Karakulin V. A., “On the asymptotic integration of systems of linear differential equations with oscillatory decreasing coefficients”, Math. Notes, 64:5 (1998), 571–578.Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.Coddington E. A., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, New York, 1955.Нестеров П. Н., “Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 43:6 (2007), 731–742.Nesterov P. N., “Averaging method in the asymptotic integration problem for systems with oscillatory-decreasing coefficients”, Differ. Equ., 43:6 (2007), 745–756.Нестеров П. Н., Агафончиков Е. Н., “Особенности колебания решений адиабатических осцилляторов с запаздыванием”, Модел. и анализ информ. систем, 20:5 (2013), 25–44.Nesterov P. N., Agafonchikov E. N., “Specific features of oscillations in adiabatic oscillators with delay”, Automatic Control and Computer Sciences, 49:7 (2015), 582–596.Burton T. A., Volterra integral and differential equations, Elsevier, Amsterdam, 2005.Burton T. A., Volterra integral and differential equations, Elsevier, Amsterdam, 2005.Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.Grace S. R., Lalli B. S., “Asymptotic behaviour of certain second order integro-differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 76 (1980), 84–90.Grace S. R., Lalli B. S., “Asymptotic behaviour of certain second order integro-differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 76 (1980), 84–90.Harris Jr. W. A., Lutz D. A., “Asymptotic integration of adiabatic oscillators”, J. Math. Anal. Appl., 51:1 (1975), 76–93.Harris Jr. W. A., Lutz D. A., “Asymptotic integration of adiabatic oscillators”, J. Math. Anal. Appl., 51:1 (1975), 76–93.Harris Jr. W. A., Lutz D. A., “A unified theory of asymptotic integration”, J. Math. Anal. Appl., 57:3 (1977), 571–586.Harris Jr. W. A., Lutz D. A., “A unified theory of asymptotic integration”, J. Math. Anal. Appl., 57:3 (1977), 571–586.Levinson N., “The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations”, Duke Math. J., 15:1 (1948), 111–126.Levinson N., “The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations”, Duke Math. J., 15:1 (1948), 111–126.Naulin R., Vanegas C. J., “Asymptotic formulas for the solutions of integro-differential equations”, Acta Math. Hungar., 89:4 (2000), 281–299.Naulin R., Vanegas C. J., “Asymptotic formulas for the solutions of integro-differential equations”, Acta Math. Hungar., 89:4 (2000), 281–299.Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients”, Monatsh. Math., 171 (2013), 217–240.Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients”, Monatsh. Math., 171 (2013), 217–240.Wintner A., “The adiabatic linear oscillator”, Amer. J. Math., 68 (1946), 385–397.Wintner A., “The adiabatic linear oscillator”, Amer. J. Math., 68 (1946), 385–397.Wintner A., “Asymptotic integration of the adiabatic oscillator”, Amer. J. Math., 69 (1946), 251–272.Wintner A., “Asymptotic integration of the adiabatic oscillator”, Amer. J. Math., 69 (1946), 251–272.Yang E. H., “Asymptotic behaviour of certain second order integro-differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 106 (1985), 132–139.Yang E. H., “Asymptotic behaviour of certain second order integro-differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 106 (1985), 132–139.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.