доктор физ.-мат. наук, доцент,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003
doctor of science,
14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003
кандидат физ.-мат. наук,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003
PhD,
14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003
Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\). Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначается результат гомотетии \(S\) относительно центра тяжести с~коэффициентом гомотетии \(\sigma\). Под \(\xi(S)\) понимается минимальное \(\sigma>0\), такое что \(Q_n\subset \sigma S\). Через \(\alpha(S)\) обозначается минимальное \(\sigma>0\), при котором \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\). Через \(d_i(S)\) обозначается \(i\)-й осевой диаметр \(S\), представляющий собой максимальную длину отрезка, принадлежащего \(S\) и параллельного \(i\)-й координатной оси. Формулы для \(\xi(S)\), \(\alpha(S)\), \(d_i(S)\) были ранее доказаны первым автором. Положим \(\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. \) Всегда \(\xi_n\geq n.\) Обсуждаются некоторые гипотезы, сформулированные в предыдущих работах. Одной из них является следующее утверждение. Для любого \(n\) существует константа \(\gamma>0\), не зависящая от \(S\subset Q_n\), с которой выполняется неравенство \(\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).\) Минимальное \(\gamma\) c таким свойством обозначается через \(\varkappa_n\). Доказывается, что \(\varkappa_1=\frac{1}{2}\) и при \(n>1\) справедливо \(\varkappa_n\geq 1\). Если \(n>1\) и \(\xi_n=n,\) то \(\varkappa_n=1\). Равенство \(\xi_n=n\) выполняется, если \(n+1\) --- число Адамара, т.\,е. существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Последнее утверждение известно; приводится ещё одно его доказательство, непосредственно использующее матрицы Адамара. %Полученная ранее общая оценка \(n\leq \xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\) %для \(n=5\) даёт \(5\leq \xi_5\leq 5.5\). Доказывается, что \(\xi_5=5\). Таким образом, существуют такие \(n\), для которых \(n+1\) не является числом Адамара и, тем не менее, \(\xi_n=n\). Минимальное \(n\) с таким свойством равно \(5\). Это влечёт \(\varkappa_5=1\) и %Равенство \(\xi_5=5\) опровергает гипотезу о характеризации чисел Адамара в терминах гомотетии симплексов, высказанную ранее первым автором: \(n+1\) есть число Адамара тогда и только тогда, когда \(\xi_n=n.\) Последнее утверждение оказывается верным лишь в одну сторону. Существует симплекс \(S\subset Q_5\), для которого граница симплекса \(5S\) содержит все вершины куба \(Q_5\). Указывается однопараметрическое семейство симплексов, принадлежащих \(Q_5\) и обладающих свойством \(\alpha(S)=\xi(S)=5.\) Эти симплексы удаётся найти с помощью комбинации численных и~символьных вычислений. Новым результатом является неравенство \(\xi_6\
Let \(n\in {\mathbb N}\) and \(Q_n=[0,1]^n\). For a nondegenerate simplex \(S\subset {\mathbb R}^n\), by \(\sigma S\) we denote the homothetic copy of~\(S\) with center of homothety in the center of gravity of \(S\) and ratio of~homothety \(\sigma\). By \(\xi(S)\) we mean the minimal \(\sigma>0\) such that \(Q_n\subset \sigma S\). By \(\alpha(S)\) denote the minimal \(\sigma>0\) such that \(Q_n\) is~contained in a translate of~\(\sigma S\). By \(d_i(S)\) we denote the \(i\)th axial diameter of \(S\), i.\,e. the maximum length of~the segment contained in \(S\) and parallel to the \(i\)th coordinate axis. Formulae for~\(\xi(S)\), \(\alpha(S)\), \(d_i(S)\) were proved earlier by the first author. Define \(\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. \) We always have \(\xi_n\geq n.\) We discuss some conjectures formulated in the previous papers. One of~these conjectures is the following. For~every \(n\), there exists \(\gamma>0\), not depending on \(S\subset Q_n\), such that an~inequality \(\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n)\) holds. Denote by \(\varkappa_n\) the minimal \(\gamma\) with such a~property. We prove that \(\varkappa_1=\frac{1}{2}\); for \(n>1\), we obtain \(\varkappa_n\geq 1\). If \(n>1\) and \(\xi_n=n,\) then \(\varkappa_n=1\). The equality \(\xi_n=n\) holds if \(n+1\) is an Hadamard number, i.\,e. there exists an Hadamard matrix of~order \(n+1\). This proposition is known; we give one more proof with the direct use of Hadamard matrices. We prove that \(\xi_5=5\). Therefore, there exists \(n\) such that \(n+1\) is not an Hadamard number and nevertheless \(\xi_n=n\). The~minimal \(n\) with such a property is equal to \(5\). This involves \(\varkappa_5=1\) and also disproves the following previous conjecture of the first author concerning the characterization of Hadamard numbers in terms of~homothety of simplices: \(n+1\) is an Hadamard number if and only if \(\xi_n=n.\) This statement is valid only in one direction. There exists a simplex \(S\subset Q_5\) such that the boundary of the simplex \(5S\) contains all the vertices of the cube \(Q_5\). We describe a one-parameter family of simplices contained in \(Q_5\) with the property \(\alpha(S)=\xi(S)=5.\) These simplices were found with the use of numerical and symbolic computations. %Numerical experiments allow to discover Another new result is an inequality \(\xi_6\ <6.0166\). %Прежняя оценка имела вид \(6\leq \xi_6\leq 6.6\). We also systematize some of our estimates of numbers \(\xi_n\), \(\theta_n\), \(\varkappa_n\) derived by~now. The symbol \(\theta_n\) denotes the minimal norm of interpolation projection on the space of linear functions of \(n\) variables as~an~operator from \(C(Q_n)\) to~\(C(Q_n)\).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.