канд. физ.-мат. наук, доцент,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003
PhD,
14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003
При изучении кусочно-полиномиальных приближений в пространствах \(L_p,\;\) \( 0~<~p~<~1,\) автором было рассмотрено распространение \(k\)-й производной (оператора) с соболевских пространств \( W_1^k \) на пространства, являющиеся в определённом смысле их преемниками и имеющие нижний индекс меньше единицы. Данная статья продолжает работы автора по исследованию свойств, обретаемых оператором дифференцирования \(\Lambda\) при распространении его за границы пространства \(W_1^1\)$$\Lambda~:~W_1^1~\mapsto~L_1,\; \Lambda f = f^{\;'}$$. Исследования проводятся с помощью введения семейства пространств \(Y_p^1,\; 0~<~p~<~1,\)( имеющего аналогию с семейством )\(W_p^1,\; 1~\le~p~<~\infty.\) Пространства \(Y_p^1\) снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм соответствующих пространств \(L_p,\) и для них выполняется \(\; \Lambda : Y_p^1 \mapsto L_p\). Такой подход даёт новый взгляд на свойства производной. Например, была показана аддитивность относительно интервала продолженного оператора дифференцирования:$$ \bigcup_{n=1}^{m} \Lambda (f_n) = \Lambda (\bigcup_{n=1}^{m} f_n).$$Здесь для функции \(f_n,\) заданной на \([x_{n-1};x_n],\; a~=~x_0 < x_1 < \cdots < x_m~=~b,\) определено \(\Lambda (f_n).\)Одной из наиболее важных характеристик линейного оператора является состав ядра. При распространении оператора дифференцирования с пространства \(C^1\) на пространства \(W_p^1\) его ядро не изменяется. В статье конструктивно показано, что функции скачков и сингулярные функции \(f\) принадлежат всем пространствам \( Y_p^1,\) и для них \(\Lambda f =0.\) Следовательно, пространство функций ограниченной вариации \(H_1^1\) содержится в каждом \(Y_p^1,\) и оператор \(\Lambda\) на \(H_1^1\) удовлетворяет соотношению \(\Lambda f = f^{\;'}.\) Также приходим к выводу, что сингулярной логично назвать каждую функцию из добавленной части ядра.
When investigating piecewise polynomial approximations in spaces \(L_p, \; 0~<~p~<~1,\) the author considered the spreading of k-th derivative (of the operator) from Sobolev spaces \(W_1 ^ k\) on spaces that are, in a sense, their successors with a low index less than one. In this article, we continue the study of the properties acquired by the differentiation operator \(\Lambda\) with spreading beyond the space \(W_1^1\) $$\Lambda~:~W_1^1~\mapsto~L_1,\; \Lambda f = f^{\;'} $$.The study is conducted by introducing the family of spaces \(Y_p^1, \; 0 <p < 1,\) which have analogy with the family \(W_p^1, \; 1 \le p <\infty.\) This approach gives a new perspective for the properties of the derivative. It has been shown, for example, the additivity property relative to the interval of the spreading differentiation operator: $$ \bigcup_{n=1}^{m} \Lambda (f_n) = \Lambda (\bigcup_{n=1}^{m} f_n).$$Here, for a function \(f_n\) defined on \([x_{n-1}; x_n], \; a~=~x_0 < x_1 < \cdots <x_m~=~b\), \(\Lambda (f_n)\) was defined. One of the most important characteristics of a linear operator is the composition of the kernel.During the spreading of the differentiation operator from the space \( C ^ 1 \) on the space \( W_p ^ 1 \) the kernel does not change. In the article, it is constructively shown that jump functions and singular functions \(f\) belong to all spaces \( Y_p ^ 1 \) and \(\Lambda f = 0.\) Consequently, the space of the functions of the bounded variation \(H_1 ^ 1 \) is contained in each \( Y_p ^ 1 ,\) and the differentiation operator on \(H_1^1\) satisfies the relation \(\Lambda f = f^{\; '}.\)Also, we come to the conclusion that every function from the added part of the kernel can be logically named singular.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.