maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-2-205-214mais-509Research ArticleОригинальные статьиArticlesО гипотезах Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии и его общем схемном слое в случае конечной характеристикиOn the Tate Conjectures for Divisors on a Fibred Variety and on its Generic Scheme Fibre in the Case of Finite Characteristichttps://orcid.org/0000-0002-6883-2087ПрохороваТатьяна ВячеславовнаProkhorovaTatyana V.

 канд. физ.-мат. наук

ул. Горького, 87, г. Владимир, 600000 Россия

 PhD

87 Gorky str., Vladimir 600000, Russia

tvprokhorova@mail.ruВладимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. СтолетовыхРоссияA. G. and N. G. Stoletov Vladimir State UniversityRussian Federation201729042017242205214Copyright © Прохорова Т.В., 20172017Прохорова Т.В.Prokhorova T.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/509

В работе изучаются взаимоотношения между гипотезой Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии над конечным полем и гипотезой Тэйта для дивизоров на общем схемном слое при условии, что общий схемный слой имеет иррегулярность нуль. Пусть \(\pi:X\to C\) -- сюръективный морфизм гладких проективных многообразий над конечным полем \(F_q\) характеристики \(p\), \(C\) -- кривая, общий схемный слой морфизма \(\pi\) является гладким многообразием \(V\) над полем \(k=\kappa(C)\) рациональных функций кривой \(C\), \(\overline k\) -- алгебраическое замыкание поля \(k\), \(k^s\) -- его сепарабельное замыкание, \(NS(V)\) -- группа Нерона -- Севери классов дивизоров на многообразии \(V\) по модулю алгебраической эквивалентности, причем выполнены следующие условия: \(H^1(V\otimes\overline k,\mathcal O_{V\otimes\,\overline k})=0,\) \; \(NS(V)=NS(V\otimes\overline k).\) Если для простого числа \(l\), не делящего \({Card}([NS(V)]_{tors})\) и отличного от характеристики поля \(F_q\), верно соотношение \(NS(V)\otimes\Bbb Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,[H^2(V\otimes k^{sep},Q_l(1))]^{Gal( k^{sep}/k)} \)\; \((\)другими словами, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на \(V )\), то для любого простого числа \(l\neq charr(F_q)\) гипотеза Тэйта верна для дивизоров на \(X\): \(NS(X)\otimes Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow} \,\,[H^2(X\otimes\overline F_q,Q_l(1))]^{Gal(\overline F_q/ F_q)}.\) В частности, из этого результата следует гипотеза Тэйта для дивизоров на арифметической модели K3 -- поверхности над достаточно большим глобальным полем конечной характеристики, отличной от 2.

We investigate interrelations between the Tate conjecture for divisors on a fibred variety over a finite field and the Tate conjecture for divisors on the generic scheme fibre under the condition that the generic scheme fibre has zero irregularity. Let \(\pi:X\to C\) be a surjective morphism of smooth projective varieties over a finite field \(F_q\) of characteristic \(p\), \(C\) is a curve and the generic scheme fibre of \(\pi\) is a smooth variety \(V\) over the field \(k=\kappa(C)\) of rational functions of the curve \(C\), \(\overline k\) is an algebraic closure of the field \(k\), \(k^s\) is its separable closure, \(NS(V)\) is the N\'eron - Severi group of classes of divisors on the variety \(V\) modulo algebraic equivalence, and assume that the following conditions hold: \(H^1(V\otimes\overline k,\mathcal O_{V\otimes\,\overline k})=0,\) \(NS(V)=NS(V\otimes\overline k).\) If, for a prime number \(l\) not dividing \({Card}([NS(V)]_{tors})\) and different from the characteristic of the field \(F_q\), the following relation holds \(NS(V)\otimes\Bbb Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,[H^2(V\otimes k^{sep},Q_l(1))]^{Gal( k^{sep}/k)} \) \((\)in other words, if the Tate conjecture for divisors on \(V\) holds\()\), then for any prime number \(l\neq charr(F_q)\) the Tate conjecture holds for divisors on \(X\): \(NS(X)\otimes Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow} \,\,[H^2(X\otimes\overline F_q,Q_l(1))]^{Gal(\overline F_q/F_q)}.\) In  particular, it follows from this result that the Tate conjecture for divisors on an arithmetic model of a \(K3\) surface over a sufficiently large global field of finite characteristic different from 2 holds as well.

гипотеза Тэйтаглобальное полегруппа Брауэраарифметическая модельK3 – поверхностьTate conjectureglobal fieldBrauer grouparithmetic modelK 3 surfaceReferencesJ.S. Milne, “Values of zeta functions of varieties over finite fields”, Amer. J. Math., 108 (1986), 297–360.J.S. Milne, “Values of zeta functions of varieties over finite fields”, Amer. J. Math., 108 (1986), 297–360.J. Tate, “Conjectures on algebraic cycles in l-adic cohomology”, Proc. Symposia in Pure Math., 55 (1994 Part 1), 71 – 83.J. Tate, “Conjectures on algebraic cycles in l-adic cohomology”, Proc. Symposia in Pure Math., 55 (1994 Part 1), 71 – 83.Colliot-Theґle`ne J.-L., Skorobogatov A.N., Swinnerton-Dyer P., “Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points”, Invent. Math., 134:3 (1998), 579–650.Colliot-Theґle`ne J.-L., Skorobogatov A.N., Swinnerton-Dyer P., “Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points”, Invent. Math., 134:3 (1998), 579–650.Милн Дж., Этальные когомологии, Мир, М., 1983; [Milne J.S., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980].Милн Дж., Этальные когомологии, Мир, М., 1983; [Milne J.S., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980].Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической модели гиперкэлерова многообразия над числовым полем”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 203 – 224; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic model of a hyperkЁahler variety over a number field”, Izv. Math., 79:3 (2015), 623–644].Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической модели гиперкэлерова многообразия над числовым полем”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 203 – 224; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic model of a hyperkЁahler variety over a number field”, Izv. Math., 79:3 (2015), 623–644].Lang S., Weil A., “Number of points of varieties in finite fields”, Amer. J. Math., 76:4 (1954), 819–827.Lang S., Weil A., “Number of points of varieties in finite fields”, Amer. J. Math., 76:4 (1954), 819–827.Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической схемы. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 155–176; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic scheme. II”, Izv. Math., 67:5 (2003), 1007–1029].Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической схемы. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 155–176; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic scheme. II”, Izv. Math., 67:5 (2003), 1007–1029].Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M.F., Macdonald I.G., Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M.F., Macdonald I.G., Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].Skorobogatov A. N., “Descent on fibrations over the projective line”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 905–923.Skorobogatov A. N., “Descent on fibrations over the projective line”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 905–923.Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, Элементы математики, Наука, М., 1965; [Bourbaki N., Eґleґments de Matheґmatique. Algeґbre, livre II, Hermann, Paris, 1963].Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, Элементы математики, Наука, М., 1965; [Bourbaki N., Eґleґments de Matheґmatique. Algeґbre, livre II, Hermann, Paris, 1963].Алгебраическая теория чисел, ред. Касселс Дж., ФреЁлих А., Мир, М., 1969; [ Algebraic number theory, Proc. Internat. Conf. Brighton, 1965, eds. Cassels G. W. S., FroЁlich A., Academic Press, London, and Thompson, Washington, DC, 1967].Алгебраическая теория чисел, ред. Касселс Дж., ФреЁлих А., Мир, М., 1969; [ Algebraic number theory, Proc. Internat. Conf. Brighton, 1965, eds. Cassels G. W. S., FroЁlich A., Academic Press, London, and Thompson, Washington, DC, 1967].Madapusi Pera K., “The Tate conjecture for K 3 surfaces in odd characteristic Descent on fibrations over the projective line”, Invent. math., 201 (2015), 625–668.Madapusi Pera K., “The Tate conjecture for K 3 surfaces in odd characteristic Descent on fibrations over the projective line”, Invent. math., 201 (2015), 625–668.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.