maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-2-227-238mais-511Research ArticleОригинальные статьиArticlesЗадачи оптимизации с усреднением по части переменных и условия их оптимальности в форме принципа максимумаOptimization Problems with Averaging over the VariablesЦирлинАнатолий МихайловичTsirlinAnatoly M.

д-р техн. наук, профессор

ул. Петра Первого, 4а, с. Веськово, Переславский р-он, Ярославская обл., 152020 Россия

Prof

4a Petra 1 str., Veskovo Jaroslavskoy 152020, Russia

tsirlin@sarc.botik.ruИнститут программных систем им. А.К. Айламазяна РАНРоссияProgram Systems Institute of RASRussian Federation201729042017242227238Copyright © Цирлин А.М., 20172017Цирлин А.М.Tsirlin A.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/511

Рассмотрены задачи нелинейного программирования, критерий и ограничения которых усредненно зависят от части переменных. Показано, что если в этих задачах существует решение, то функция Лагранжа на нем достигает максимума по тем переменным, по которым происходит усреднение. При этом функции, определяющие задачу, могут быть не дифференцируемыми, а непрерывными по этим переменным, множество их допустимых значений может содержать и изолированные точки. В вариационных задачах может отсутствовать решение в классе кусочно-непрерывных функций по части переменных, но существовать обобщенное решение, на котором эти переменные изменяются в скользящем режиме, а критерий оптимальности стремится к своей верхней грани. Если же в таких задачах решение в классе кусочно – непрерывных функций существует, то условия оптимальности этого решения имеют форму принципа максимума функции Гамильтона. Рассмотрена связь усреднения по времени и по множеству значений переменных.

The problems of nonlinear programming, criteria and limitations depend on the variables averaged. It is shown that if these problems have solutions, the Lagrangian reaches the maximum for the variables, which are averaged. The functions defining the problem can not be differentiable and continuous on these variables, the set of possible values may contain isolated points. In variational problems there can be no solution in the class of piecewise continuous functions of the variables, but there can be a generalized solution in which these variables change in the sliding mode, and the optimality criterion tends to its upper edge. If in such problems the solution in the class of piecewise - continuous functions exists, the conditions of optimality of this solution are in the form of the Hamiltonian function of the maximum principle. The relationship between the average over time and across multiple variables is considered.

Усредненная оптимизациярасширение множества допустимыхэквивалентность расширениявариация вероятностной мерыусловия в форме принципа максимумаThe average optimizationexpansion of the set of admissible equivalence extensionvariation of probability measuresthe conditions in the form of the maximum principleReferencesЦирлин А.М., Оптимальные циклы и циклические режимы, Энергоатомиздат, М., 1983; [Tsirlin A. M., Optimalnie zikly i ziklisheskie regimi, Energoatomizdat, M., 1983, (in Russian).]Цирлин А.М., Оптимальные циклы и циклические режимы, Энергоатомиздат, М., 1983; [Tsirlin A. M., Optimalnie zikly i ziklisheskie regimi, Energoatomizdat, M., 1983, (in Russian).]Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Мир, М., 1977; [Jang L., Lekzii po variazionnomu ishisleniju i teoriin optimalnogo upravlenija, Mir, M., 1977, (in Russian).]Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Мир, М., 1977; [Jang L., Lekzii po variazionnomu ishisleniju i teoriin optimalnogo upravlenija, Mir, M., 1977, (in Russian).]Fromovitz St., “Non-linear programmingn with randomisation”, Manag. Sci. A., 11:9 (1965).Fromovitz St., “Non-linear programmingn with randomisation”, Manag. Sci. A., 11:9 (1965).Himmelblau D. M., Applied Nonlinear Programming, N-Y, 1972.Himmelblau D. M., Applied Nonlinear Programming, N-Y, 1972.Цирлин А.М., Методы усредненной оптимизации и их приложения, Физматлит, М., 1997; [Tsirlin A. M., Metodi usrednennoy optimizazii i ix prilogenija, Fizmatkit, M., 1997, (in Russian).]Цирлин А.М., Методы усредненной оптимизации и их приложения, Физматлит, М., 1997; [Tsirlin A. M., Metodi usrednennoy optimizazii i ix prilogenija, Fizmatkit, M., 1997, (in Russian).]Цирлин А.М., “Задачи и методы усредненной оптимизации”, Труды Математического института им. Стеклова, 261 (2008), 1–17; [Tsirlin A. M., “Zadashi i metodi usrednennoy optimizazii”, Trudi instituta im. Steklova, 261 (2008), 1–17, (in Russian).]Цирлин А.М., “Задачи и методы усредненной оптимизации”, Труды Математического института им. Стеклова, 261 (2008), 1–17; [Tsirlin A. M., “Zadashi i metodi usrednennoy optimizazii”, Trudi instituta im. Steklova, 261 (2008), 1–17, (in Russian).]Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А., Необходимое условие в оптимальном управлении, Наука, М., 1990; [Afanasyev A.P., Dicusar V. V., Milutin A. A., Shukanov C. A., Neobxodimoe uslovie v optimalnom upravlenii, Nauka, M., 1990, (in Russian).]Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А., Необходимое условие в оптимальном управлении, Наука, М., 1990; [Afanasyev A.P., Dicusar V. V., Milutin A. A., Shukanov C. A., Neobxodimoe uslovie v optimalnom upravlenii, Nauka, M., 1990, (in Russian).]Дубовицкий А.Я., Милютин А.А., “Теория принципа максимума”, Методы теории экстремальных задач в экономике, Наука, М., 1981, 6–47; [Dubovizky A. J., Milutin A. A., “Teorija prinzipa maksimuma”, Metodi teorii ecstremalnix zadash v ekonomike, Nauka, M., 1981, 6–47, (in Russian).]Дубовицкий А.Я., Милютин А.А., “Теория принципа максимума”, Методы теории экстремальных задач в экономике, Наука, М., 1981, 6–47; [Dubovizky A. J., Milutin A. A., “Teorija prinzipa maksimuma”, Metodi teorii ecstremalnix zadash v ekonomike, Nauka, M., 1981, 6–47, (in Russian).]Цирлин А.М., “Оптимизация в среднем и скользящие режимы в задачах оптимального управления”, Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1974, №2, 143–151; [Tsirlin A. M., “Optimizacija v srednem i skolzjashie regimi v zadashax optimalnogo upravlenija”, Izv. AN SSSR. Texn. kibernetika, 1974, № 2, 143–151, (in Russian).]Цирлин А.М., “Оптимизация в среднем и скользящие режимы в задачах оптимального управления”, Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1974, №2, 143–151; [Tsirlin A. M., “Optimizacija v srednem i skolzjashie regimi v zadashax optimalnogo upravlenija”, Izv. AN SSSR. Texn. kibernetika, 1974, № 2, 143–151, (in Russian).]Розоноэр Л.И., “Принцип максимума Понтрягина в теории оптимальных систем”, Автомат. и телемех., 20:10 (1959), 1320–1334; [English transl.: [Rozonoer L. I., “The Maximum Principle in the theory of optimal systems”, Autom. Remote Control, 20:10 (1959), 1320–1334 ].Розоноэр Л.И., “Принцип максимума Понтрягина в теории оптимальных систем”, Автомат. и телемех., 20:10 (1959), 1320–1334; [English transl.: [Rozonoer L. I., “The Maximum Principle in the theory of optimal systems”, Autom. Remote Control, 20:10 (1959), 1320–1334 ].Цирлин А.М., “Условия оптимальности скользящих режимов и прнцип максимума для задачи со скалярным аргументом”, Автоматика и телемеханика, 2009, №5, 106– 121; [English transl.: Tsirlin A. M., “Optimality conditions of sliding modes and the maximum principle for control problems with the scalar argument”, Autom. Remote Control, 70:5 (2009), 839–854 ].Цирлин А.М., “Условия оптимальности скользящих режимов и прнцип максимума для задачи со скалярным аргументом”, Автоматика и телемеханика, 2009, №5, 106– 121; [English transl.: Tsirlin A. M., “Optimality conditions of sliding modes and the maximum principle for control problems with the scalar argument”, Autom. Remote Control, 70:5 (2009), 839–854 ].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.