доктор физико-математических наук, профессор, физический факультет.
Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Москва, 119991
professor.
1, bld. 2 Leninskiye Gory, Moscow 119991
аспирант, физический факультет.
Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Москва, 119991
graduate student.
1, bld. 2 Leninskiye Gory, Moscow 119991
Мы рассматриваем нестационарный процесс распространения некоторой субстанции в одномерной среде с диффузией и источниками, плотность которых зависит от концентрации (так для определенности будем называть исследуемую величину). Предполагается, что изменение концентрации \(u(x,t)\) в данной точке со временем \(t\) определяется разностью потоков слева и справа, а также плотностью источников, которая зависит от \(x\) и от \(u\). Такая модель приводит к начально-краевой задаче для квазилинейного уравнения параболического типа, которое называют уравнением реакции–диффузии. В частности, наша модель пригодна для описания нестационарного процесса передачи информации в одномерной системе объектов, которые могут быть описаны величиной, характеризующей степень информированности о некотором событии. Предполагается, что плотность источников обращается в нуль (меняя знак) при трех значениях концентрации, два из которых (крайние) являются устойчивыми, имеется еще промежуточное неустойчивое состояние с нулевой плотностью источников, в котором тоже имеет место перемена знака. Особенность нашей модели состоит в том, что мы предполагаем, что два крайних корня функции плотности источников являются вырожденными (с целым или дробным показателем, большим единицы). Такая модель соответствует ситуации, при которой плотность источников в окрестности стационарного значения концентрации является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем для стандартной модели, в которой эта величина имеет первый порядок малости. Мы намерены показать аналитически и методом компьютерного моделирования, что данная модель приводит к тому, что скорость асимптотического стремления концентрации к равновесным значениям для движущегося фронта становится степенной вместо экспоненциальной, имеющей место для стандартных моделей. Построена формальная асимптотика решения начально-краевой задачи в однородной среде со степенной зависимостью плотности источников от концентрации, построены верхнее и нижнее решения, дано строгое обоснование формальной асимптотики. Построены точные решения уравнения реакции–диффузии для широкого класса функций плотности источников.
We consider a nonstationary process of spreading some substance in a one-dimensional spatially inhomogeneous system of cells. It is assumed that a change in the concentration of \(u_n (t)\) in a cell with the number \(n\) with time \(t\) is determined by the difference in concentration in this cell and in its two neighbors on the left and on the right, as well as the source density, which depends on \(n\) and depends on \(u_n (t)\). Such a model leads to the initial-boundary value problem for the differentialdifference equation (differentiation with respect to t variable, the difference expression with respect to \(n\)). With a sufficiently small difference in concentration in each pair of neighboring cells we can replace the difference expression by the second partial derivative with respect to the spatial coordinate, and describe the propagation by the reaction-diffusion equation. This equation belongs to the class of quasilinear parabolic equations. It is assumed that the density of the sources vanishes (with changing the sign) at three values of the concentration, two of which, lower and upper, are stable. There is also an intermediate unstable state with zero source density, in which the sign reversal also takes place. The peculiarity of our model is that we assume, that two extreme roots of the source density function are degenerate (with an integer or fractional exponent). We intend to show analytically and by the computer simulation, that this model leads to the fact, that the rate of asymptotic aspiration of concentration to equilibrium values for a moving front becomes power-law instead of exponential, which takes place for standard models. In the paper, we have constructed a formal asymptotics solution of the initialboundary value problem for the reaction-diffusion equation in a homogeneous medium with a power-law dependence of the source density on the temperature, an upper and lower solutions are constructed, a rigorous justification of the formal asymptotics is given. Precise solutions of the diffusion reaction equation are constructed for a wide class of source density functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.