maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-3-365-386mais-525Research ArticleОригинальные статьиArticlesМатематическая модель эксперимента НиколсонаMathematical Model of Nicholson’s Experimenthttps://orcid.org/0000-0002-6403-4061ГлызинСергей ДмитриевичGlyzinSergey D.

доктор физико-математических наук, заведующий  кафедрой компьютерных сетей ЯГУ; ведущий научный сотрудник НЦЧ РАН.

Ул.  Советская, 14, г. Ярославль, 150003; ул. Лесная, д. 9, г. Черноголовка, Московская область, 142432

Doctor, Professor YSU.

14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003; 9 Lesnaya str., Chernogolovka, Moscow  region,  142432

glyzin@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет имени П.Г. Демидова; НЦЧ РАНРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; Scientific Center in Chernogolovka RASRussian Federation201730062017243365386Copyright © Глызин С.Д., 20172017Глызин С.Д.Glyzin S.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/525

Рассматривается математическая модель  динамики  численности  насекомых  и предпринимается попытка  объяснения  с ее помощью классических экспериментальных результатов Николсона. В первой части работы описывается эксперимент Николсона и выбираются динамические уравнения  для его моделирования. Априорные оценки параметров модели удается  уточнить с помощью локального  анализа  динамической  системы,  который  выполнен  во втором  разделе.  В нем найдены значения  параметров, при которых потеря устойчивости состоянием равновесия задачи приводит к бифуркации устойчивого двумерного тора. Численный  счет, выполненный на основе оценок из второго раздела, позволяет  объяснить  классический эксперимент  Николсона,  развернутое теоретическое  обоснование которого дано в последнем разделе.  В нем для аттрактора системы вычислен старший  ляпуновский  показатель. Характер изменения  этого показателя при изменении коэффициента линейного роста задачи  позволяет  дополнительно  сузить  область  поиска параметров модели.  Обоснование  данного  эксперимента стало  возможным лишь  в результате сочетания аналитических и численных  методов  исследования  уравнений  динамики  популяций  насекомых. При этом аналитический подход дал возможность проводить  численный  анализ  в достаточно  узкой области пространства параметров. Попасть в эту область, исходя лишь из общих соображений, не представляется возможным.

Considered  is a mathematical model of insects  population dynamics,  and  an attempt is made  to explain  classical experimental results  of Nicholson with  its help.  In the  first section  of the paper  Nicholson’s experiment is described  and dynamic  equations  for its modeling are chosen.  A priori estimates  for model parameters can be made more precise by means of local analysis  of the  dynamical system,  that is carried  out in the second section.  For parameter values found there  the stability loss of the  problem  equilibrium  of the  leads to the  bifurcation of a stable  two-dimensional torus.   Numerical simulations  based  on the  estimates  from the  second section  allows to explain  the  classical Nicholson’s experiment, whose detailed  theoretical substantiation is given in the last section.  There for an atrractor of the  system  the  largest  Lyapunov  exponent is computed. The  nature of this  exponent change allows to additionally narrow  the area of model parameters search.  Justification of this experiment was made possible  only  due  to  the  combination of analytical and  numerical  methods  in studying  equations  of insects  population dynamics.   At the  same time,  the  analytical approach made  it possible to perform numerical  analysis  in a rather narrow  region of the  parameter space.  It is not  possible to get into this area,  based only on general considerations.

дифференциально-разностные уравненияасимптотикаустойчивостьляпуновские показателидинамика популяций насекомыхdifferential-difference equationsasymptotic behaviourstabilityLyapunov exponentsinsect population dynamicsГрант Российского научного фонда, проект №14-21-00158RFBR, project No 14-21-00158ReferencesNicholson A. J., “An outline of the dinamics of animal populations”, Aust. J. Zool., 2:1 (1954), 9-65.Nicholson A. J., “An outline of the dinamics of animal populations”, Aust. J. Zool., 2:1 (1954), 9-65.Nicholson A. J., “The self-adjustment of populations to change”, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 22 (1958), 153-173.Nicholson A. J., “The self-adjustment of populations to change”, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 22 (1958), 153-173.May R.M., Conway G.R., Hassel M.P., Southwood T.R.E., “Time delay, density dependence and single oscillations”, J. Anim. Ecology, 43 (1974), 747-770.May R.M., Conway G.R., Hassel M.P., Southwood T.R.E., “Time delay, density dependence and single oscillations”, J. Anim. Ecology, 43 (1974), 747-770.Oster G., Guckenheimer J., “Bifurcation fenomena in population models”, The Hopf Bifurcation, eds. J. Marsden, M. McCracken, Spring-Verlag, Berlin, 1976, 327-345.Oster G., Guckenheimer J., “Bifurcation fenomena in population models”, The Hopf Bifurcation, eds. J. Marsden, M. McCracken, Spring-Verlag, Berlin, 1976, 327-345.Колесов Ю. С., “ Моделирование популяции насекомых” , Биофизика, 28:3 (1983), 513-514]Kolesov Yu. S., “Modelirovanie populyatsii nasekomykh”, Biofizika, 28:3 (1983), 513-514, (in Russian).Колесов Ю. С., Кубышкин Е.П., “ Некоторые свойства решений дифференциальноразностных уравнений, моделирующих динамику изменения численности популяций насекомых” , Исследования по устойчивости и теории колебаний, 1983, 64 – 86.Kolesov U.S., Kubyshkin Ye.P., “Nekotoryye svoystva resheniy differentsialnoraznostnykh uravneniy, modeliruyushchikh dinamiku izmeneniya chislennosti populyatsiy nasekomykh”, Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy, 1983, 64 - 86, (in Russian).Кубышкин Е.П., “ Локальные методы в исследовании системы дифференциальноразностных уравнений, моделирующих динамику изменения численности популяций насекомых” , Нелинейные колебания в задачах экологии, 1985, 70-82.Kubyshkin Ye.P., “Lokalnyye metody v issledovanii sistemy differentsialnoraznostnykh uravneniy, modeliruyushchikh dinamiku izmeneniya chislennosti populyatsiy nasekomykh”, Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii, 1985, 70-82, (in Russian).Глызин С. Д., “ Двухчастотные колебания фундаментального уравнения динамики популяций насекомых” , Нелинейные колебания и экология, 1984, 91 – 116.Glyzin S. D., “Dvukhchastotnyye kolebaniya fundamental’nogo uravneniya dinamiki populyatsiy nasekomykh”, Nelineynyye kolebaniya i ekologiya, 1984, 91 - 116, (in Russian).Кащенко С. А., “ Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых” , Модел. и анализ информ. систем, 19:5 (2012), 18-34.Kaschenko S. A., “Stationary States of a Delay Differentional Equation of Insect Population’s Dynamics”, Model. Anal. Inform. Sist., 19:5 (2012), 18-34, (in Russian).Глызин С. Д., “ Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона” , Модел. и анализ информ. систем, 14:3 (2007), 29-42.Glyzin S. D., “A registration of age groups for the Hutchinson’s equation”, Model. Anal. Inform. Sist., 14:3 (2007), 29-42, (in Russian).Guckenheimer J., Holmes P., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences, 42, Springer, 1983.Guckenheimer J., Holmes P., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences, 42, Springer, 1983.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х., “ Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора” , Дифференц. уравнения, 41:2 (2005), 268-273.].Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor”, Differ. Equ., 41:2 (2005), 284-289.Crombie A.C., “On competition between different species of graminivoros insects”, Proc. R. Soc. (B), 133 (1946), 362-395.Crombie A.C., “On competition between different species of graminivoros insects”, Proc. R. Soc. (B), 133 (1946), 362-395.Crombie A.C., “Further experiments on insect competition”, Proc. R. Soc. (B), 133 (1946), 76-109.Crombie A.C., “Further experiments on insect competition”, Proc. R. Soc. (B), 133 (1946), 76-109.Birch L.C., “Experimental background to study of the distribution and abundance of insects. 1. The influence of temperature, moisture and food on the innate capacity for increase of three grane beatles”, Ecology, 34 (1953), 608-611.Birch L.C., “Experimental background to study of the distribution and abundance of insects. 1. The influence of temperature, moisture and food on the innate capacity for increase of three grane beatles”, Ecology, 34 (1953), 608-611.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.