канд. физ.-мат. наук, доцент
PhD
аспирант
graduate student
Работа посвящена уточнению свойств центроида дерева. Внимание авторов привлекла популярная задача (бинарного) разбиения графа, для которой неизвестен непереборный алгоритм. Выяснено, что для «экономного» разбиения дерева имеет смысл рассматривать разбиения в окрестности центроидных вершин, определение которых представлено. В ходе работы предложены доказательства, связанные с ограничением их веса. Также доказано, что если в дереве имеются две центроидные вершины, то они смежны. В следствии отмечается, что в дереве не могут иметь место три таких вершины. Составлены соответствующие предложения. Согласно первому, любая вершина дерева с определенным ограничением на ее вес является центроидной. По одному из пунктов второго предложения, если в дереве имеются две центроидные вершины, то порядок дерева является чётным числом. Третье предложение гласит, что если в дереве имеется центроидная вершина ограниченного веса, то имеется и другая центроидная вершина того же веса и смежная с первой. Для доказательства предложений рассматривается ветвь наибольшего веса при центроидной вершине и в этой ветви берется другая смежная с центроидной вершина. В работе используется теорема Жордана, при изложении материала представлено три изображения.
The paper is devoted to the tree centroid properties clarification. Attention of the authors was attracted by the popular problem of (binary) partition of a graph. The solution is known only by brute force algorithm. It was found that for a ”economical” partition of a tree it makes sense to consider partitions in the neighborhood of centroid vertices, the definition of which is presented. In the paper, we proposed proofs connected with the limitation of their weight. It is also proved that if there are two centroid vertices in a tree, they are adjacent. In what follows, it is noted that three such vertices can not be in the tree. The corresponding statements are made. According to the first one, any vertex of a tree with a certain restriction on its weight is centroid. According to one of the points of the second statement, if there are two centroid vertices in the tree, the order of the tree is an even number. The third statement says that if a tree has a centroid vertex of limited weight, there is another centroid vertex of the same weight and adjacent to the first one. To prove the propositions, we consider the branch of greatest weight with a centroid vertex and take in this branch another vertex adjacent to the centroid. In this paper, Jordan’s theorem is used, three images are used in the presentation of the material.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.