maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-4-508-515mais-538Research ArticleОригинальные статьиArticlesРазложение самоподобных функций в системе Фабера–ШаудераThe Expansion of Self-similar Functions in the Faber–Schauder Systemhttps://orcid.org/0000-0002-0980-2507ТимофеевЕвгений АлександровичTimofeevEvgeniy A.

д-р физ.-мат. наук, профессор

ScD, professor

timofeevEA@gmail.comЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201731082017244508515Copyright © Тимофеев Е.А., 20172017Тимофеев Е.А.Timofeev E.A.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/538

Пусть \(\Omega = A^{N}\) - пространство правосторонних бесконечных последовательностей символов алфавита \(A = \{0,1\}\), \(N = \{1,2,\dots\}\). Пусть$$\label{rho} \rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k}$$

- метрика на \(\Omega = A^{N}\), и \(\mu\) - мера Бернулли на \(\Omega\) с вероятностями \(p_0,p_1>0\), \(p_0+p_1=1\). Обозначим через \(B(\boldsymbol{x},\omega)\) открытый шар радиуса \(r\) с центром в точке \(\boldsymbol{\omega}\).Основной результат работы$$\mu\left(B(\boldsymbol{\omega},r)\right) =r+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{2^n-1}\mu_{n,j}(\boldsymbol{\omega})\tau(2^nr-j),$$где \(tau(x) =2\min\{x,1-x\}\), \(0\leq x \leq 1\), \(tau(x) = 0, if x<0 or x>1\),$$mu_{n,j}(\boldsymbol{\omega}) = \left(1-p_{\omega_{n+1}}\right)\prod_{k=1}^n p_{\omega_k\oplus j_k},\ \ j = j_12^{n-1}+j_22^{n-2}+\dots+j_n$$.Семейство функций \(1,x,\tau(2^nx-j)\), \(j =0,1,\dots,2^n-1\), \(n=0,1,\dots\) является системой Фабера-Шаудера в пространстве \(C([0, 1])\) непрерывных функций на \([0, 1]\).Также получены разложения в системе Фабера-Шаудера для сингулярной функции Лебега, кривых Чезаро и кривых Коха-Пеано.

Let \(\Omega = A^{N}\) be a space of right-sided innite sequences drawn from a nite alphabet \(A = \{0,1\}\), \(N = \{1,2,\dots\}\). Let $$\label{rho} \rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k}$$

- be a metric on \(\Omega = A^{N}\), and \(\mu\) - the Bernoulli measure on \(\Omega\) with probabilities \(p_0,p_1>0\), \(p_0+p_1=1\). Denote by \(B(\boldsymbol{x},\omega)\) an open ball of radius \(r\) centered at \(\boldsymbol{\omega}\). The main result of this paper is$$\mu\left(B(\boldsymbol{\omega},r)\right) =r+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{2^n-1}\mu_{n,j}(\boldsymbol{\omega})\tau(2^nr-j),$$where \(tau(x) =2\min\{x,1-x\}\), \(0\leq x \leq 1\), \(tau(x) = 0, if x<0 or x>1\),$$mu_{n,j}(\boldsymbol{\omega}) = \left(1-p_{\omega_{n+1}}\right)\prod_{k=1}^n p_{\omega_k\oplus j_k},\ \ j = j_12^{n-1}+j_22^{n-2}+\dots+j_n$$.The family of functions \(1,x,\tau(2^nx-j)\), \(j =0,1,\dots,2^n-1\), \(n=0,1,\dots\) is the Faber{Schauder system for the space \(C([0, 1])\) of continuous functions on \([0, 1]\).We also obtain the Faber{Schauder expansion for the Lebesgue's singular function, Cezaro curves, and Koch{Peano curves.

система Фабера–Шаудеравейвлета Хаарасамоподобиефункция ЛебегаFaber–Schauder systemHaar waveletself-similarLebesgue’s functionReferencesКашин Б.С., Саакян А.А., Ортогональные ряды, 2-е изд., доп., Изд-во АФЦ, М., 1999Kashin B.S., Saakyan A. A., Orthogonal series, 2nd ed., Izd. NauchnoIssled. Aktuarno-Finans. Tsentra (AFTs), Moscow, 1999.Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta Mathematicae, 23:1 (1934), 237–278.Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta Mathematicae, 23:1 (1934), 237–278.De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 285–298.De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 285–298.Levy P., “Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 180–239.Levy P., “Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 180–239.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.