доктор физ.-мат. наук, профессор
doctor of science
Вводится понятие и устанавливаются свойства локально выпуклых кривых. В первом пункте рассматривается кривая \(K\), допускающая параметрическое представление \(x = u(t),\, y = v(t), \, (a \leqslant t \leqslant b),\) где \(u(t), v(t)\) -- непрерывно дифференцируемые на отрезке \([a,b]\) функции, причём \(|u'(t)| + |v'(t)| > 0 \,\forall t \in [a,b]\). Угловая функция \(\theta(t)\) кривой \(K\) -- это непрерывная на отрезке \([a,b]\) функция, удовлетворяющая соотношениям\[u'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \cos \theta(t), \quad v'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \sin \theta(t).\]Кривая \(K\) называется локально выпуклой, если её угловая функция \(\theta(t)\) строго монотонна на отрезке \([a,b]\). Для замкнутой кривой \(K\) число \(deg K= \cfrac{\theta(b)- \theta(a)}{2 \pi}\) целое; оно равно числу оборотов, которое вектор скорости \((u'(t),v'(t))\) совершает вокруг начала координат. Основной результат пункта: если кривая \(K\) локально выпукла и замкнута, то для любой прямой \(G\) число \(N(K;G)\) точек пересечения \(K\) с \(G\) конечно и верна оценка \(N(K;G) \leqslant 2 |deg K|\). Обсуждаются варианты этой оценки для незамкнутых и негладких кривых. В пунктах 2, 3 основное внимание уделяется кривым, возникающим при исследовании линейного однородного дифференциального уравнения вида \(L(x) \equiv x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots p_n(t) x = 0 \)с локально суммируемыми коэффициентами \(p_i(t)\, (i = 1, \cdots,n)\). Существенную роль начинают играть признаки неосцилляции дифференциального оператора \(L\), установленные в работах Г.А. Бессмертных и А.Ю. Левина.
We introduce the definition of locally convex curves and establish some properties of such curves. In the section 1, we consider the curve \(K\) allowing the parametric representation \(x = u(t),\, y = v(t), \, (a \leqslant t \leqslant b)\), where \(u(t)\), \(v(t)\) are continuously differentiable on \([a,b]\) functions such that \(|u'(t)| + |v'(t)| > 0 \,\forall t \in [a,b]\). A continuous on \([a,b]\) function \(\theta(t)\) is called it the angle function of the curve \(K\) if the following conditions hold: \(u'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \cos \theta(t), \quad v'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \sin \theta(t)\). The curve \(K\) is called it locally convex if its angle function \(\theta(t)\) is strictly monotonous on \([a,b]\). For a closed curve \(K\) the number \(deg K= \cfrac{\theta(b)- \theta(a)}{2 \pi}\) is whole. This number is equal to the number of rotations that the speed vector \((u'(t),v'(t))\) performs around the origin. The main result of the first section is the statement: if the curve \(K\) is locally convex, then for any straight line \(G\) the number \(N(K;G)\) of intersections of \(K\) and \(G\) is finite and the estimate \(N(K;G) \leqslant 2 |deg K|\) holds. We discuss versions of this estimate for closed and non-closed curves. In the sections 2 and 3, we consider curves arising in the investigation of a linear homogeneous differential equation of the form \(L(x) \equiv x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots p_n(t) x = 0 \) with locally summable coefficients \(p_i(t)\, (i = 1, \cdots,n)\).We demonstrate how conditions of disconjugacy of the differential operator \(L\) that were established in works of G.A. Bessmertnyh and A.Yu.Levin, can be applied.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.