maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-5-596-614mais-583Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотическое интегрирование некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространствеAsymptotic Integration of Certain Differential Equations in Banach Spacehttps://orcid.org/0000-0002-9102-9436НестеровПавел НиколаевичNesterovPavel N.

канд. физ.-мат. наук, доцент

PhD

nesterov.pn@gmail.comЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201724102017245596614Copyright © Нестеров П.Н., 20172017Нестеров П.Н.Nesterov P.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/583

В работе исследуется задача построения асимптотических представлений для слабых решений некоторого класса линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве при стремлении независимой переменной к бесконечности. Исследуется класс уравнений, являющихся возмущением линейного автономного уравнения, вообще говоря, с неограниченным оператором. В качестве возмущения выступает семейство ограниченных операторов, которое в определенном смысле убывает колебательным образом на бесконечности. Относительно невозмущенного уравнения предполагаются выполненными стандартные требования теории центральных многообразий. Суть предложенного метода асимптотического интегрирования состоит в доказательстве существования у исходного уравнения многообразия типа центрального (критического многообразия). Это многообразие является положительно инвариантным для исходного уравнения и притягивает все траектории слабых решений. Динамика исходного уравнения на критическом многообразии описывается конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Асимптотика фундаментальной матрицы этой системы может быть построена с помощью разработанного автором метода асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами. В качестве примера использования предложенной техники в работе строятся асимптотические представления для решений возмущенного уравнения теплопроводности.

 

We investigate the problem of constructing the asymptotics for weak solutions of certain class of linear differential equations in the Banach space as the independent variable tends to infinity. The studied class of equations is the perturbation of linear autonomous equation, generally speaking, with an unbounded operator. The perturbation takes the form of the family of the bounded operators that, in a sense, decreases oscillatory at infinity. The unperturbed equation satisfies the standard requirements of the center manifold theory. The essence of the proposed asymptotic integration method is to prove the existence for the initial equation of the center-like manifold (critical manifold). This manifold is positively invariant with respect to the initial equation and attracts all the trajectories of the weak solutions. The dynamics of the initial equation on the critical manifold is described by the finite-dimensional ordinary differential system. The asymptotics for the fundamental matrix of this system may be constructed by using the method proposed by the author for asymptotic integration of the systems with oscillatory decreasing coefficients. We illustrate the suggested technique by constructing the asymptotic formulas for solutions of the perturbed heat equation.

 

асимптотикадифференциальное уравнениебанахово пространствоколебательно убывающие коэффициентыметод центральных многообразийвозмущенное уравнение теплопроводностиasymptoticsdifferential equationBanach spaceoscillatory decreasing coefficientscenter manifolds methodperturbed heat equationReferencesИосида К., Функциональный анализ, Мир, М., 1967Yosida K., Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, G¨ottingen, Heidelberg, 1965.Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958Coddington E. A., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, New York, 1955.Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, М., 1980; пер. с англ.: Marsden J. E., McCracken M., The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, 1976.Marsden J. E., McCracken M., The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, 1976.Нестеров П. Н., “Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 43:6 (2007), 731–742;Nesterov P. N., “Averaging method in the asymptotic integration problem for systems with oscillatory-decreasing coefficients”, Differ. Equ., 43:6 (2007), 745–756.Нестеров П. Н., “Метод центральных многообразий в задаче асимптотического интегрирования функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. II”, Модел. и анализ информ. систем, 21:5 (2014), 5–37;Nesterov P. N., “Center manifold method in the asymptotic integration problem for functional differential equations with oscillatory decreasing coeffcients. II”, Model. Anal. Inform. Sist., 21:5 (2014), 5–37, (in Russian).Фомин В. Н., Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах, Изд-во ЛГУ, Л., 1972;Fomin V. N., Mathematical theory of parametric resonance in linear distributed systems, Leningr. Univ. Publ., Leningrad, 1972, (in Russian).Хейл Дж., Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984;Hale J. K., Theory of functional differential equations, Springer-Verlag, New York, 1977.Balakrishnan A. V., Applied functional analysis, Springer-Verlag, New York, 1981.Balakrishnan A. V., Applied functional analysis, Springer-Verlag, New York, 1981.Ball J. M., “Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula”, Proc. Amer. Math. Soc., 63:2 (1977), 370–373.Ball J. M., “Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula”, Proc. Amer. Math. Soc., 63:2 (1977), 370–373.Ball J. M., “On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations”, J. Differential Equations, 27 (1978), 224–265.Ball J. M., “On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations”, J. Differential Equations, 27 (1978), 224–265.Carr J., Applications of centre manifold theory, Springer-Verlag, New York, 1981.Carr J., Applications of centre manifold theory, Springer-Verlag, New York, 1981.Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.Hale J., Verduyn Lunel S. M., Introduction to functional differential equations, SpringerVerlag, New York, 1993.Hale J., Verduyn Lunel S. M., Introduction to functional differential equations, SpringerVerlag, New York, 1993.Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.Langer M., Kozlov V., “Asymptotics of solutions of a perturbed heat equation”, J. Math. Anal. Appl., 397:2 (2013), 481–493.Langer M., Kozlov V., “Asymptotics of solutions of a perturbed heat equation”, J. Math. Anal. Appl., 397:2 (2013), 481–493.Levinson N., “The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations”, Duke Math. J., 15:1 (1948), 111–126Levinson N., “The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations”, Duke Math. J., 15:1 (1948), 111–126Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients: a center manifold approach”, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2016, № 33, 1–43.Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients: a center manifold approach”, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2016, № 33, 1–43.Pazy A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.Pazy A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.Rothe F., Global solutions of reaction-diffusion systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1984.Rothe F., Global solutions of reaction-diffusion systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1984.Wu J., Theory and applications of partial functional differential equations, Springer-Verlag, New York, 1996.Wu J., Theory and applications of partial functional differential equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.