maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-5-615-628mais-584Research ArticleОригинальные статьиArticlesБифуркации пространственно неоднородных решений в одной краевой задаче для обобщенного уравнения Курамото–СивашинскогоBifurcations of Spatially Inhomogeneous Solutions of a Boundary Value Problem for the Generalized Kuramoto–Syvashinsky Equationhttps://orcid.org/0000-0002-8421-9119СекацкаяАлина ВадимовнаSekatskayaAlina V.

аспирант

graduate student

alinastart@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201724102017245615628Copyright © Секацкая А.В., 20172017Секацкая А.В.Sekatskaya A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/584

В работе рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, в котором неизвестная функция зависит от трех независимых переменных: времени и двух пространственных. Данное уравнение можно назвать обобщенным уравнением Курамото–Сивашинского, и оно описывает процесс формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием ионной бомбардировки. В работе это уравнение рассматривается вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Для данной краевой задачи изучается вопрос о локальных бифуркациях пространственно неоднородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что в результате бифуркации могут появиться пространственно неоднородные состояния равновесия трех типов. Выведены условия на коэффициенты, при которых происходит потеря устойчивости. В случаях, близких к критическим, для значений параметров рассмотрены задачи о локальных бифуркациях. Показано, что вопрос о формировании неоднородного рельефа с математической точки зрения сводится к изучению вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые принято называть нормальной формой Пуанкаре–Дюлака. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), такие как: метод инвариантных многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм. В частности, изучен вопрос об устойчивости найденных решений, а также получены асимптотические формулы для бифурцирующих пространственно неоднородных решений. Подтверждено, что формирование неоднородного рельефа можно рассматривать как явление самоорганизации.

 

In this paper, a differential partial equation with an unknown function of three variables time and two spatial variables – is considered. The given equation is commonly called the generalized Kuramoto–Sivashinsky (gKS) equation. This equation represents a model of the formation of a nanorelief on a surface by ion bombardment. In the work, this equation is considered with the homogeneous Neumann boundary conditions. Local bifurcations of spatially inhomogeneous equilibrium states is studied in the case of their stability changes. It is shown that the inhomogeneous surface relief can occur when the stability of the homogeneous states of equilibrium changes. The conditions were obtained for coefficients when the stability changes. In the cases close to critical cases the local bifurcation problems are considered. It was shown that a question about the formation of inhomogeneous surface relief from a mathematical point of view is reduced to the study of auxiliary ordinary differential equations which are called a Poincare–Dulac normal form. The stability analysis of spatially homogeneous equilibrium states is given, as well as local bifurcations are studied in the case of their stability changes. The method of invariant manifolds coupled with the normal form theory were used to solve this problem. For the bifurcating solutions the asymptotic formulas are given.

 

бифуркации и устойчивостьволновой нанорельефпространственно неоднородные решенияbifurcationstabilityripple structuresspatially inhomogeneous solutionsReferencesSigmund P., “A mechanism of surface micro-rougening by ion bombardment”, J. Mat. Sci., 8 (1973), 1545.Sigmund P., “A mechanism of surface micro-rougening by ion bombardment”, J. Mat. Sci., 8 (1973), 1545.Sigmund P., “Theory of sputtering. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets”, Phys. Rev, 184:2 (1969), 383–416.Sigmund P., “Theory of sputtering. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets”, Phys. Rev, 184:2 (1969), 383–416.Syvashinsky G. I., “Weak Turbulence in Periodic Flow”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 17, 1985, 243–255.Syvashinsky G. I., “Weak Turbulence in Periodic Flow”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 17, 1985, 243–255.Kuramoto Y., Chemical oscillations, waves and turbulence, Springer, Berlin, 1984, 136 pp.Kuramoto Y., Chemical oscillations, waves and turbulence, Springer, Berlin, 1984, 136 pp.Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of Ripple Topography by ion bombardment”, J. Vac. Tech., A6, 1988, 2390–2395.Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of Ripple Topography by ion bombardment”, J. Vac. Tech., A6, 1988, 2390–2395.Кудряшов Н. А., Рябов П. Н., Стриханов М. Н., “Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ядерная физика и инжиниринг, 1, 2, 2010, 151–158Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Strikhanov M. N., “Chislennoe modelirovanie formirovaniya nanostruktur na poverkhnosti ploskikh podlozhek pri ionnoy bombardirovke”, Yadernaya fizika i inzhiniring, 1, 2, 2010, 151–158, (in Russian).]Кудряшов Н. А., Рябов П. Н., Федянин Т. Е., “Особенности самоорганизации нано- структур на поверхности полупроводников при ионной бомбардировке”, Математическое моделирование, 24, 2012, 23–28Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Fedyanin T. E., “On self-organization processes of nanostructures on semiconductor surface by ion bombardment”, Matem. Mod., 24:12 (2012), 23–28, (in Russian). ]Carter G., “The physics and applications of ion beam erosion”, J.Phys. D.: Appl. Phys ˙ , 34, 2001.Carter G., “The physics and applications of ion beam erosion”, J.Phys. D.: Appl. Phys ˙ , 34, 2001.Sigmund P., Sputtering by ion bombardment. Theoretical concepts. Sputtering by particle bombardment, Springer-Verlag, Berlin, 1981.Sigmund P., Sputtering by ion bombardment. Theoretical concepts. Sputtering by particle bombardment, Springer-Verlag, Berlin, 1981.Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека, Наука, М., 1972, 544 с.;Funktsionalnyy analiz. Spravochnaya matematicheskaya biblioteka, Nauka, M., 1972, 544 pp., (in Russian).Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, 1950, 367 с.;Marsden Dzh., Mak-Kraken M., Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya, Mir, 1950, 367 pp., (in Russian).Куликов А. Н., Интегральные многообразия нелинейных автономных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, Препринт №85 института прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991;Kulikov A. N., Integralnye mnogoobraziya nelineynykh avtonomnykh differentsialnykh uravneniy v gilbertovom prostranstve, 1991, (in Russian).Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., Автоволновые про- цессы в нелинейных средах с диффузией, Физматлит, 2005, 431 с.;Mishchenko E. F., Sadovnichiy V. A., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., Avtovolnovye protsessy v nelineynykh sredakh s diffuziey, Fizmatlit, 2005, 431 pp., (in Russian).Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, Гос.изд-во технико-теоретической литературы, М.-Л., 1951, 360 с.;Lyusternik L. A., Sobolev V. I., Elementy funktsional’nogo analiza, Gos.izd-vo tekhniko-teoreticheskoy literatury, M.-L., 1951, 360 pp., (in Russian).Куликов А. Н., Куликов Д. А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:5 (2012), 930–945;Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Formation of wavy nanostructures on the surface of flat substrates by ion bombardment”, Comput. Math. and Math. Phys., 52:5 (2012), 800–814.Куликов А. Н., Куликов Д. А., Рудый А. С., “Бифуркации наноструктур под воздействием ионной бомбардировки”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2011, № 4, 86–99;Kulikov A. N., Kulikov D. A., Rudyy A. S., “Bifurcation of the nanostructures induced by ion bombardment”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2011, 86–99, (in Russian). ]Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Bifurcations in a boundary-value problem of nanoelectronics”, Journal of Mathematical Sciences, 208:2 (2015), 211–221.Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Bifurcations in a boundary-value problem of nanoelectronics”, Journal of Mathematical Sciences, 208:2 (2015), 211–221.Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Bifurcation in Kuramoto–Syvashinsky equation”, Pliska Stud. Math, 25 (2015), 81–90.Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Bifurcation in Kuramoto–Syvashinsky equation”, Pliska Stud. Math, 25 (2015), 81–90.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.