maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-5-629-648mais-585Research ArticleОригинальные статьиArticlesВарианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в выпуклых четырехугольных областяхVersions of the Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Convex Quadrangular DomainsБеляевВасилий АлексеевичBelyaevVasily A.

старший лаборант

belyaevasily@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6761-7273ШапеевВасилий ПавловичShapeevVasily P.

доктор физ.-мат. наук, профессор

Doctor of physical and mathematical sciences, professor,

vshapeev@ngs.ruИнститут теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАНРоссияKhristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of SciencesRussian FederationИнститут теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН; Новосибирский национальный исследовательский университетРоссияKhristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk National Research UniversityRussian Federation201724102017245629648Copyright © Беляев В.А., Шапеев В.П., 20172017Беляев В.А., Шапеев В.П.Belyaev V.A., Shapeev V.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/585

Предложены и реализованы новые варианты метода коллокации и наименьших невязок (КНН) для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными в выпуклых четырехугольных областях. Их реализация и численные эксперименты выполнены на примерах решения уравнений Пуассона и бигармонического. Решение второго уравнения использовано для моделирования напряженно–деформированного состояния изотропной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки. Дифференциальные задачи методом КНН проектировались в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения задач выписывались точно на границе расчетной области. Реализованы варианты метода КНН на сетках, построенных двумя различными способами. В первом варианте в области строится некоторая “квазирегулярная” сетка, крайние линии которой совпадают с границами области. Во втором — область сначала накрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы “законтурные” (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Кроме этого, “малые” нерегулярные треугольные ячейки, отсеченные границей области от прямоугольных ячеек начальной регулярной сетки, присоединялись к соседним четырехугольным ячейкам. Этот прием позволил существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи по сравнению со случаем, когда малые ячейки наряду с другими ячейками использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что оно сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда оно известно.

 

The new versions of the collocations and least residuals (CLR) method of high-order accuracy are proposed and implemented for the numerical solution of the boundary value problems for PDE in the convex quadrangular domains. Their implementation and numerical experiments are performed by the examples of solving the biharmonic and Poisson equations. The solution of the biharmonic equation is used for simulation of the stress-strain state of an isotropic plate under the action of the transverse load. Differential problems are projected into the space of fourth-degree polynomials by the CLR method. The boundary conditions for the approximate solution are put down exactly on the boundary of the computational domain. The versions of the CLR method are implemented on the grids, which are constructed by two different ways. In the first version, a “quasiregular” grid is constructed in the domain, the extreme lines of this grid coincide with the boundaries of the domain. In the second version, the domain is initially covered by a regular grid with rectangular cells. Herewith, the collocation and matching points that are situated outside the domain are used for approximation of the differential equations in the boundary cells that had been crossed by the boundary. In addition the “small” irregular triangular cells that had been cut off by the domain boundary from rectangular cells of the initial regular grid are joined to adjacent quadrangular cells. This technique allowed to essentially reduce the conditionality of the system of linear algebraic equations of the approximate problem in comparison with the case when small irregular cells together with other cells were used as independent ones for constructing an approximate solution of the problem. It is shown that the approximate solution of problems converges with high order and matches with high accuracy with the analytical solution of the test problems in the case of the known solution in numerical experiments on the convergence of the solution of various problems on a sequence of grids.

 

метод коллокации и наименьших невязоккраевая задачанеканоническая областьнерегулярная сеткаповышенный порядок аппроксимацииуравнение Пуассонабигармоническое уравнениеcollocations and least residuals methodboundary value problemnon-canonical domainirregular gridhigh order approximationPoisson’s equationbiharmonic equationReferencesСлепцов А. Г.., “Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач”, Моделирование в механике, 5(22):2 (1991), 101–126Sleptsov A. G., “Kollokatsionnosetochnoe resheniya ellepticheskih zadach”, Modelirovanie v mekhanike, 5(22):2 (1991), 101–126, (in Russian).]Слепцов А. Г., Шокин Ю. И., “Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 37:5 (1997), 572–586;Sleptsov A. G., Shokin Yu. I., “An adaptive grid-projection method for elliptic problems”, Comput. Math. Math. Phys., 37 (1997), 558–571.Беляев В. В., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей”, Вычислительные технологии, 5:4 (2000), 12–21Belyaev V. V., Shapeev V. P., “Metod kollokaziy i naimenshikh kvadratov na adaptivnykh setkakh v oblasti s krivolineinoi granitsei”, Vychislitelnye tekhnologii, 5:4 (2000), 12–21, (in Russian).]Шапеев В. П., Беляев В. А., “Варианты метода коллокации и наименьших невязок повышенной точности в области с криволинейной границей”, Вычислительные технологии, 21:5 (2016), 95–110Shapeev V. P., Belyaev V. A., “Varianty metoda kollokatsiy i naimenshikh nevyazok povushennoy tochnosti v oblasti s krivolineinoi granitsei”, Vychislitelnye tekhnologii, 21:5 (2016), 95–110, (in Russian).]Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин”, Вычислительные технологии, 18:6 (2013), 31–43;Golushko S. K., Idimeshev S. V., Shapeev V. P., “Metod kollokatsiy i naimenshikh nevyazok v prilozhenii k zadacham mekhaniki izotropnykh plastin”, Vychislitelnye tekhnologii, 18:6 (2013), 31–43, (in Russian).]Семин Л. Г., Слепцов А. Г. Шапеев В. П.,, “Метод коллокаций-наименьших квадратов для уравнений Стокса”, Вычисл. технологии, 1:2 (1996), 90–98;Semin L. G., Sleptsov A. G., Shapeev V. P., “Metod kollokatsiy-naimenshikh kvadratov dlya uravneniy Stoksa”, Vychislitelnye tekhnologii, 1:2 (1996), 90–98, (in Russian).]Исаев В. И., Шапеев В. П., “Развитие метода коллокаций и наименьших квадратов”, Труды ИММ УрО РАН, 14:1 (2008), 41–60;Isaev V. I., Shapeev V. P., “Development of the collocations and least squares method”, Proc. Inst. Math. Mech., 261 (2008), 87–106.Исаев В. И., Шапеев В. П., “Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:10 (2010), 1758–1770;Isaev V. I., Shapeev V. P., “High-accuracy versions of the collocations and least squares method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations”, Comput. Math. and Math. Phys., 50 (2010), 1670–1681.Шапеев В. П., Ворожцов Е. В., Исаев В. И., Идимешев С. В., “Метод коллокаций и наименьших невязок для трехмерных уравнений Навье–Стокса”, Вычислит. методы и и программирование, 14 (2013), 306–322Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., Isaev V. I., Idimeshev S. V., “Metod kollokatsiy i naimenshikh nevyazok dlya trekhmernykh uravneniy Navie–Stoksa”, Vychislitelnye metody i programmirovanie, 14 (2013), 306–322, (in Russian).]Shapeev V., “Collocation and least residuals method and its applications”, EPJ Web of Conferences, 108:01009 DOI: 10.1051/epjconf/201610801009 (2016).Shapeev V., “Collocation and least residuals method and its applications”, EPJ Web of Conferences, 108:01009 DOI: 10.1051/epjconf/201610801009 (2016).Ворожцов Е. В., Шапеев В. П., “О комбинировании способов ускорения сходимости итерационных процессов при численном решении уравнений Навье–Стокса”, Вычислит. методы и программирование, 18 (2017), 80–102;Vorozhtsov E. V., Shapeev V. P., “O kombinirovanii sposobov uskoreniya iteracionnyh processov pri chislennom reshenii uravneniy Navie–Stoksa”, Vychislitelnye metody i programmirovanie, 18 (2017), 80–102, (in Russian).]Слепцов А. Г., “Об ускорении сходимости линейных итераций II”, Моделирование в механике, 3(20):5 (1989), 118–125;Sleptsov A. G., “Ob uskorenii skhodimosti lineinykh iteratsiy II”, Modelirovanie v mekhanike, 3(20):5 (1989), 118–125, (in Russian).]Saad Y., Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, Manchester University Press, Manchester, 1991.Saad Y., Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, Manchester University Press, Manchester, 1991.Исаев В. И., Шапеев В. П., Еремин С. А., “Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные технологии, 12:3 (2007), 1–19;Isaev V. I., Shapeev V. P., Eremin S. A., “Issledovanie svoistv metoda kollokatsii i naimenshikh kvadratov resheniya kraevykh zadach dlya uravneniya Puassona i uravneniy Navie–Stoksa”, Vychislitelnye tekhnologii, 12:3 (2007), 1–19, (in Russian).]Timoshenko S. P. Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, 2dn edn., McGrawHill Book Company, 1959.Timoshenko S. P. Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, 2dn edn., McGrawHill Book Company, 1959.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.