maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-5-649-654mais-586Research ArticleОригинальные статьиArticlesСемейство негрубых циклов в системе двух связанных генераторов с запаздываниемA Family of Non-rough Cycles in a System of Two Coupled Delayed Generatorshttps://orcid.org/0000-0003-3823-9351КащенкоАлександра АндреевнаKashchenkoAleksandra A.

канд. физ.-мат. наук

PhD

a.kashchenko@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201724102017245649654Copyright © Кащенко А.А., 20172017Кащенко А.А.Kashchenko A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/586

В данной работе рассматривается нелокальная динамика модели двух связанных генераторов с запаздывающей обратной связью. Эта модель имеет вид системы двух дифференциальных уравнений с запаздыванием. Функция обратной связи является нелинейной, финитной и гладкой. Главным предположением в задаче является то, что связь между генераторами достаточно малая. Асимптотическими методами исследуется существование релаксационных периодических решений данной системы. Для этого в фазовом пространстве исходной системы выделяется специальное множество. Затем находится асимптотика решений данной системы с начальными условиями из этого множества. С помощью этой асимптотики строится специальное отображение, описывающее в главном динамику исходной задачи. Доказывается, что все решения данного отображения являются негрубыми циклами периода два. В результате удается сформулировать условия на параметр связи, при выполнении которых исходная система имеет двупараметрическое семейство негрубых неоднородных релаксационных периодических асимптотических по невязке решений.

 

In this paper, we consider the nonlocal dynamics of the model of two coupled oscillators with delayed feedback. This model has the form of a system of two differential equations with delay. The feedback function is non-linear, finite and smooth. The main assumption in the problem is that the coupling between the generators is sufficiently small. With the help of asymptotic methods we investigate the existence of relaxation periodic solutions of a given system. For this purpose, a special set is constructed in the phase space of the original system. Then we build an asymptotics of the solutions of the given system with initial conditions from this set. Using this asymptotics, a special mapping is constructed. Dynamics of this map describes the dynamics of the original problem in general. It is proved that all solutions of this mapping are non-rough cycles of period two. As a result, we formulate conditions for the coupling parameter such that the initial system has a two-parameter family of nonrough inhomogeneous relaxation periodic asymptotic (with respect to the residual) solutions.

 

большой параметррелаксационное колебаниепериодическое решениеасимптотиказапаздываниеlarge parameterrelaxation oscillationperiodic solutionasymptoticsdelayReferencesKilias T. et al., “Electronic chaos generators-design and applications”, International journal of electronics, 79:6 (1995), 737–753.Kilias T. et al., “Electronic chaos generators-design and applications”, International journal of electronics, 79:6 (1995), 737–753.Kilias T., Mogel A., Schwarz W., “Generation and application of broadband signals using chaotic electronic systems”, Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results, Akademie Verlag, Berlin, 1995, 92–111.Kilias T., Mogel A., Schwarz W., “Generation and application of broadband signals using chaotic electronic systems”, Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results, Akademie Verlag, Berlin, 1995, 92–111.Balachandran B., Kalmar-Nagy T., Gilsinn D. E., Delay differential equations, Springer, Berlin, 2009.Balachandran B., Kalmar-Nagy T., Gilsinn D. E., Delay differential equations, Springer, Berlin, 2009.Дмитриев А. С., Кислов В. Я., Стохастические колебания в радиотехнике, Наука, Москва, 1989;Dmitriev A. S., Kislov V. Ya., Stokhasticheskie kolebaniya v radiotekhnike, Nauka, Moskva, 1989, (in Russian).]Дмитриев А. С, Кащенко С. А., “Динамика генератора с запаздывающей обратной связью и низкодобротным фильтром второго порядка”, Радиотехника и электроника, 34:12 (1989), 24–39 Russian).]Dmitriev A. S., Kaschenko S. A., “Dinamika generatora s zapazdyvayushchey obratnoy svyazyu i nizkodobrotnym filtrom vtorogo poryadka”, Radiotekhnika i elektronika, 34:12 (1989), 24–39, (in Russian).]Кащенко С. А., “Асимптотика релаксационных колебаний в системах дифференциально-разностных уравнений с финитной нелинейностью. I”, Дифференциальные уравнения, 31:8 (1995), 1330–1339;Kaschenko S. A., “Asymptotics of relaxation oscillations in systems of differential-difference equations with a compactly supported nonlinearity. I”, Differential Equations, 31:8 (1995), 1275–1285.Кащенко С. А., “Асимптотика релаксационных колебаний в системах дифференциально-разностных уравнений с финитной нелинейностью. II”, Дифференциальные уравнения, 31:12 (1995), 1968–1976;Kaschenko S. A., “Asymptotics of relaxation oscillations in systems of differential-difference equations with a compactly supported nonlinearity. II”, Differential Equations, 31:12 (1995), 1938–1946.Кащенко А. А., “Динамика системы из двух простейших автогенераторов с нелинейными финитными обратными связями”, Моделирование и анализ информационных систем, 23:6 (2016), 841–849;Kashchenko A. A., “Dynamics of a system of two simplest oscillators with finite non-linear feedbacks”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:6 (2016), 841–849, (in Russian).]Кащенко С. А., “Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник — жертва”, Доклады Академии наук СССР, 266:4 (1982), 792–795;Kaschenko S. A., “Investigation, by large parameter methods, of a system of nonlinear differential-difference equations modeling a predator-prey problem”, Soviet Mathematics. Doklady, 26:2 (1982), 420–423.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A., “Regular and chaotic pulsations in laser diode with delayed feedback”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 3:6 (1993), 1515–1528.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A., “Regular and chaotic pulsations in laser diode with delayed feedback”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 3:6 (1993), 1515–1528.Bestehorn M., Grigorieva E. V., Kaschenko S. A., “Spatiotemporal structures in a model with delay and diffusion”, Physical Review E, 70:2 (2004), 026202.Bestehorn M., Grigorieva E. V., Kaschenko S. A., “Spatiotemporal structures in a model with delay and diffusion”, Physical Review E, 70:2 (2004), 026202.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A., “Dynamics of spikes in delay coupled semiconductor lasers”, Regular and Chaotic Dynamics, 15:2/3 (2010), 319–327.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A., “Dynamics of spikes in delay coupled semiconductor lasers”, Regular and Chaotic Dynamics, 15:2/3 (2010), 319–327.Kaschenko D. , Kaschenko S., Schwarz W., “Dynamics of First Order Equations with Nonlinear Delayed Feedback”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 22:8 (2012), 1250184.Kaschenko D. , Kaschenko S., Schwarz W., “Dynamics of First Order Equations with Nonlinear Delayed Feedback”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 22:8 (2012), 1250184.Кащенко С. А., “Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник–жертва»”, Моделирование и анализ информационных систем, 20:1 (2013), 52–98;Kaschenko S. A., “Relaxation oscillations in a system with delays modeling the predator-prey problem”, Automatic Control and Computer Sciences, 49:7 (2015), 547–581.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.