maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2017-5-655-670mais-587Research ArticleОригинальные статьиArticlesКонструктивное решение проблемы эллиптичности системы дифференциальных уравнений первого порядкаConstructive Solution of Ellipticity Problem for the First Order Differential Systemhttps://orcid.org/0000-0001-5349-6917БалабаевВладимир ЕвгеньевичBalabaevVladimir E.

доктор физ.-мат. наук, профессор

doctor of science

balabaev49@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201724102017245655670Copyright © Балабаев В.Е., 20172017Балабаев В.Е.Balabaev V.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/587

Построены эллиптические системы первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций и максимально возможным числом неизвестных, т.е. в общем случае. Эти системы служат основой для изучения свойств любых эллиптических систем первого порядка. Проведенное изучение системы Коши–Римана и ее обобщений привело к выделению целого класса эллиптических систем первого порядка специальной структуры. Важное значение в исследовании этих систем играет интегральное представление их решений. Лишь при помощи конструктивного метода интегральных представлений можно решить ряд проблем в теории эллиптических систем, связанных, в основном, с граничными свойствами решений. Найденное интегральное представление удалось применить также для решения ряда задач, которые трудно решить, если опираться только на неконструктивные методы. Установлены, в частности, аналоги теорем Лиувилля, Вейерштрасса, Коши, Гаусса, Морера, аналог формулы Грина, а также аналог принципа максимума модуля. Используемые матричные операторы позволяют осуществить новое конструктивное построение максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах в общем случае любой возможной размерности. Кроме того, построенные операторы позволяют получить конструктивное решение расширенной задачи «о сумме квадратов», известной в алгебре.

 

We built first order elliptic systems with any possible number of unknown functions and the maximum possible number of unknowns, i.e, in general. These systems provide the basis for studying the properties of any first order elliptic systems. The study of the Cauchy-Riemann system and its generalizations led to the identification of a class of elliptic systems of first-order of a special structure. An integral representation of solutions is of great importance in the study of these systems. Only by means of a constructive method of integral representations we can solve a number of problems in the theory of elliptic systems related mainly to the boundary properties of solutions. The obtained integral representation could be applied to solve a number of problems that are hard to solve, if you rely only on the non-constructive methods. Some analogues of the theorems of Liouville, Weierstrass, Cauchy, Gauss, Morera, an analogue of Green’s formula are established, as well as an analogue of the maximum principle. The used matrix operators allow the new structural arrangement of the maximum number of linearly independent vector fields on spheres of any possible dimension. Also the built operators allow to obtain a constructive solution of the extended problem ”of the sum of squares” known in algebra.

 

эллиптические системыдифференциальные уравненияelliptic systemsdifferential equationsReferencesШафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, 1, Наука, М., 1988, 352 с.;Shafarevich I. R., “Foundations of algebraic geometry”, Russian Math. Surveys, 24:6 (1969), 178 pp.Yuzvinski S., “Ortogonal pairings of Euclidean spaces”, Michigan Math. J., 28:2 (1981), 131–145.Yuzvinski S., “Ortogonal pairings of Euclidean spaces”, Michigan Math. J., 28:2 (1981), 131–145.Adams J.F., “Vector fields on spheres”, Ann. of Math., 75:3 (1962), 603–632.Adams J.F., “Vector fields on spheres”, Ann. of Math., 75:3 (1962), 603–632.Соломяк М.З., “О линейных эллиптических системах первого порядка”, Докл. АН СССР, 150:1 (1963), 48–51;Solomyak M.Z., “O linejnyh ehllipticheskih sistemah pervogo poryadka”, Dokl. AN SSSR, 150:1 (1963), 48–51, (in Russian)Бицадзе А.В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, Наука, М., 1966;Bicadze A.V., Kraevye zadachi dlya ehllipticheskih uravnenij vtorogo poryadka, Nauka, Moskva, 1966, (in Russian)Виноградов В.С., “Исследование граничных задач для эллиптических систем первого порядка”, Матем. заметки, 14:2 (1973), 291–304;Vinogradov V.S., “Investigation of boundary value problems for elliptic systems of first order”, Math. Notes, 14:2 (1973), 724–731.Балабаев В.Е., “Об одной системе уравнений в октавах в восьмимерном евклидовом пространстве”, Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 517–521;Balabaev V.E., “On one system of equations in octaves in eight dimensional Euclidean space”, Fundam. Prikl. Mat., 1:2 (1995), 517–521, (in Russian)Дезин А.А., Многомерный анализ и дискретные модели, Наука, М., 1990, 240 с.;Dezin A.A., Mnogomernyi analiz i diskretnye modeli, Nauka, Moskva, 1990, 240 pp., (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.