maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2018-1-7-17mais-627Research ArticleМатериалы конференцииConference PapersО переносе ряда понятий статистической радиофизики в теорию одномерных точечных отображенийOn the Transfer of a Number of Concepts of Statistical Radiophysics to the Theory of One-dimensional Point Mappingshttps://orcid.org/0000-0003-1083-4124АгаларовАгалар Магомед-ЗакиевичAgalarovAgalar M.

канд. физ.-мат. наук, зав. сектором Теоретической физики

PhD

aglarow@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-9864-3546ПотаповАлександр АлексеевичPotapovAlexander A.

д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотр., Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, ул. Моховая, 11, корп. 7, г. Москва, 125009, Россия

Президент совместной китайско-российской лаборатории информационных технологий и фрактальной обработки сигналов, просп. Хуанг Пу, 601, Университет ДжиНан, Гуанджоу, Китай

Dr. Ph.-Math. Sc.;

JNU-IRE RAS Joint Laboratory of Information Technology and Fractal Processing of Signals

 

potapov@cplire.ruhttps://orcid.org/0000-0002-7396-0112РассадинАлександр ЭдуардовичRassadinAlexander E.

член Правления

Member of the Presidium

bratras@list.ruhttps://orcid.org/0000-0003-4306-1199СтепановАнтон ВикторовичStepanovAnton V.

канд. физ.-мат. наук, ст. преп.

senior tutor

for.antonstep@gmail.comИнститут физики им. Х.И. Амирханова Дагестанского научного центра РАНРоссияInstitute of Physics. Kh. I. Amirkhanova of the Dagestan Scientific Center of the Russian Academy of SciencesRussian FederationИнститут радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН; Университет ДжиНан, Гуанджоу, КитайРоссияKotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics (IRE) of Russian Academy of Sciences; JiNan UniversityRussian FederationНижегородское математическое обществоРоссияNizhny Novgorod Mathematical SocietyRussian FederationЧувашская государственная сельскохозяйственная академияРоссияChuvash State Agriculture AcademyRussian Federation201823022018251717Copyright © Агаларов А.М., Потапов А.А., Рассадин А.Э., Степанов А.В., 20182018Агаларов А.М., Потапов А.А., Рассадин А.Э., Степанов А.В.Agalarov A.M., Potapov A.A., Rassadin A.E., Stepanov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/627

В статье обсуждается возможность использования биспектра при исследовании регулярного и хаотического поведения одномерных точечных отображений. Эффективность трансфера этого понятия в нелинейную динамику продемонстрирована на примере отображения Фейгенбаума. Также в работе рассмотрено применение энтропии Кульбака–Лейблера в теории точечных отображений. Показано, что эта величина информационного характера пригодна для описания поведения статистических ансамблей одномерных отображений. В рамках этой теории выявлены некоторые общие свойства её поведения. Конструктивизм энтропии Кульбака–Лейблера в теории точечных отображений показан также прямым её вычислением для отображения «зуб пилы» с линейным начальным распределением вероятностей. Кроме того, для этого отображения указано счётное множество начальных распределений вероятностей, попадающих в его стационарное распределение вероятностей за конечное число шагов.

 

 

 

 

In the article, the possibility of using a bispectrum under the investigation of regular and chaotic behaviour of one-dimensional point mappings is discussed. The effectiveness of the transfer of this concept to nonlinear dynamics was demonstrated by an example of the Feigenbaum mapping. Also in the work, the application of the Kullback-Leibler entropy in the theory of point mappings is considered. It has been shown that this information-like value is able to describe the behaviour of statistical ensembles of one-dimensional mappings. In the framework of this theory some general properties of its behaviour were found out. Constructivity of the Kullback-Leibler entropy in the theory of point mappings was shown by means of its direct calculation for the ”saw tooth” mapping with linear initial probability density. Moreover, for this mapping the denumerable set of initial probability densities hitting into its stationary probability density after a finite number of steps was pointed out.

 

бифуркация удвоения периодадискретное преобразование Фурьеуравнение Фробениуса–ПерронаВ-сплайнразбиение единицыperiod doubling bifurcationdiscrete Fourier transformFrobenius–Perron equationB-splinepartition of unityРабота поддержана грантом РФФИ № 18-08-01356-а.This work was supported by RFBR, grant No 18-08-01356-a.ReferencesГонченко С.В., Тураев Д.В., “О трёх типах динамики и понятии аттрактора”, Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 297, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 133–157Gonchenko S.V., Turaev D.V., “On three types of dynamics and the notion of attractor”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 297:1 (2017), 116–137.Богомолов С.А., Стрелкова Г.И., Scholl E., Анищенко В.С., “Амплитудные и фазовые химеры в ансамбле хаотических осцилляторов”, Письма в ЖТФ, 42:14 (2016), 103–110Bogomolov S.A., Strelkova G.I., Scholl E., Anishchenko V.S., “Amplitude and phase chimeras in an ensemble of chaotic oscillators”, Technical Physics Letters, 42:7 (2016), 765–768.Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И., Генерация хаоса, ред. Дмитриев А.С., Техносфера, Москва, 2012, 424 сDmitriev A.S., Efremova E.V., Maksimov N.A., Panas A.I., Generacija haosa, ed. Dmitriev A.S., Tehnosfera, Moskva, 2012, 424 pp., (in Russian).Potapov A.A., The Foundations of Chaos Revisited: From Poincare to Recent Advancements, ed. Skiadas C., Springer Int. Publ., Switzerland, Basel, 2016, ISBN: 9783-319-29701-9.Potapov A.A., The Foundations of Chaos Revisited: From Poincare to Recent Advancements, ed. Skiadas C., Springer Int. Publ., Switzerland, Basel, 2016, ISBN: 9783-319-29701-9.Кащенко И.С., “Локальная динамика дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием у первой производной”, Математические заметки, 101:2 (2017), 318–320Kashchenko I.S., “Local dynamics of a second-order differential-difference equation with large delay at the first derivative”, Mathematical Notes, 101:1–2 (2017), 379–381.Малахов А.Н., Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований, Сов. радио, Москва, 1978, 376 с.Malahov A.N., Kumuljantnyj analiz sluchajnyh negaussovyh processov i ih preobrazovanij, Sov. radio, Moskva, 1978, 376 pp., (in Russian).Кульбак С., Теория вероятности и статистика, Наука, Москва, 1967, 408 с.;Kul’bak S., Teorija verojatnosti i statistika, Nauka, Moskva, 1967, 408 pp., (in Russian).Савченко В.В., “Различение случайных сигналов в частотной области”, Радиотехника и электроника, 42:4 (1997), 426–429Savchenko V.V., “Razlichenie sluchajnyh signalov v chastotnoj oblasti”, Radiotehnika i jelektronika, 42:4 (1997), 426–429, (in Russian).Горячкин О.В., Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи, Радио и связь, Москва, 2003, 230 с.Gorjachkin O.V., Metody slepoj obrabotki signalov i ih prilozhenija v sistemah radiotehniki i svjazi, Radio i svjaz, Moskva, 2003, 230 pp., (in Russian).Абдуллаев Г.О., Потапов А.А., Рабазанов А.К., Рассадин А.Э., “Новый критерий различения периодических и хаотических режимов в динамических системах (на примере модели Рикитаке)”, Материалы XII Международной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики», приуроченной к 85летию профессора М.Г. Алишаева (Россия, Махачкала, 19–22 сентября 2017 г.), Махачкала, 2017, 8–10Abdullaev G.O., Potapov A.A., Rabazanov A.K., Rassadin A.Je., “Novyj kriterij razlichenija periodicheskih i haoticheskih rezhimov v dinamicheskih sistemah (na primere modeli Rikitake)”, Materialy XII Mezhdunarodnoj konferencii Fundamentalnye i prikladnye problemy matematiki i informatiki, priurochennoj k 85-letiju professora M.G. Alishaeva (Rossija, Mahachkala, 19–22 sentjabrja 2017 g.), Mahachkala, 2017, 8–10, (in Russian).Агаларов А.М., Гаджимурадов Т.А., Потапов А.А., Рассадин А.Э., “Об эволюции энтропии Кульбака–Лейблера в стохастических динамических системах”, Актуальные проблемы физической и функциональной электроники: материалы 20-й Всероссийской молодежной научной школы-семинара (Россия, Ульяновск, 19–22 сентября 2017 г.), УлГТУ, Ульяновск, 2017, 84–85Agalarov A.M., Gadzhimuradov T.A., Potapov A.A., Rassadin A.Je., “Ob evoljucii entropii Kulbaka–Lejblera v stohasticheskih dinamicheskih sistemah”, Aktualnye problemy fizicheskoj i funkcionalnoj elektroniki: materialy 20-j Vserossijskoj molodezhnoj nauchnoj shkoly-seminara (Rossija, Uljanovsk, 19–22 sentjabrja 2017 g.), UlGTU, Uljanovsk, 2017, 84–85, (in Russian).Юнаковский А.Д., Начала вычислительных методов для физиков, ИПФ РАН, Нижний Новгород, 2007, 219 с.Junakovskij A.D., Nachala vychislitelnyh metodov dlja fizikov, IPF RAN, Nizhny Novgorod, 2007, 219 pp., (in Russian).Feigenbaum M.J., “Universal Behaviour in Nonlinear Systems”, Los Alamos Science, 1:1 (1980), 4–27.Feigenbaum M.J., “Universal Behaviour in Nonlinear Systems”, Los Alamos Science, 1:1 (1980), 4–27.Кузнецов С.П., Динамический хаос, Физматлит, 2001, 760 с.Kuznetcov S.P., Dinamicheskij haos, Fizmatlit, 2001, 760 pp., (in Russian).Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия. Методы и приложения, Наука, Москва, 1979, 760 с.Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Sovremennaja geometrija. Metody i prilozhenija, Nauka, Moskva, 1979, 760 pp., (in Russian).Смоленцев Н.К., Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB, ДМК Пресс, Москва, 2008, 356 с.Smolencev N.K., Osnovy teorii vejvletov. Vejvlety v MATLAB, DMK Press, Moskva, 2008, 356 pp., (in Russian).Заславский Г.М., Стохастичность динамических систем, Наука, Москва, 1984, 272 с.Zaslavskij G.M., Stohastichnost dinamicheskih sistem, Nauka, Moskva, 1984, 272 pp., (in Russian).Агаларов А.М., Потапов А.А., Рассадин А.Э., Степанов А.В., “Сценарий перехода к нерегулярной динамике в генераторах хаоса через удвоение периода и биспектры отображения Фейгенбаума”, Тезисы докладов Международной научной конференции «Новые тенденции в нелинейной динамике» (Россия, Ярославль, 5–7 октября 2017 г.), ЯрГУ, Ярославль, 2017, 11–12Agalarov A.M., Potapov A.A., Rassadin A.Je., Stepanov A.V., “Scenarij perehoda k nereguljarnoj dinamike v generatorah haosa cherez udvoenie perioda i bispektry otobrazhenija Fejgenbauma”, Tezisy dokladov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii Novye tendencii v nelinejnoj dinamike (Rossija,Jaroslavl, 5–7 oktjabrja 2017), JarGU, Jaroslavl, 2017, 11–12, (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.