канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр.
PhD
аспирант
graduate student
На основе модифицированного асимптотического метода пограничных функций и асимптотического метода дифференциальных неравенств исследуется вопрос о существовании устойчивых по Ляпунову стационарных решений с внутренними слоями уравнения нелинейной теплопроводности в случае нелинейной зависимости мощности тепловых источников от температуры. Обсуждаются основные условия существования таких решений, построение асимптотического приближения решения произвольного порядка точности, алгоритм определения положения поверхности перехода, в окрестности которой локализован внутренний слой контрастной структуры, и обоснование формальных построений. Основная трудность связана с описанием поверхности перехода. Предлагается эффективный алгоритм определения положения поверхности перехода, который развивает наш подход в описании многомерных задач на более сложный случай сбалансированной нелинейности. Результат может быть использован для создания численного алгоритма, основанного на применении асимптотического анализа с целью построения пространственно-неоднородных сеток при описании внутреннего слоя решения. В качестве иллюстрации рассматривается задача на плоскости, которая позволяет визуализировать численные расчеты. Сравниваются численные и асимптотические решения нулевого порядка при различных значениях малого параметра.
On the basis of the modified asymptotic method of boundary functions and the asymptotic method of differential inequalities, the question of the existence of Lyapunov-stable stationary solutions with internal layers of the nonlinear heat equation in the case of nonlinear dependence of the power of thermal sources from temperature is investigated. The main conditions of the existence of such solutions are discussed. We construct an asymptotic approximation of an arbitrary-order accuracy to such solutions and suggest an efficient algorithm for constructing an asymptotic approximation to the localization surface of the transition layer. To justify the constructed formal asymptotics, we use an asymptotic method of differential inequalities. The main complexity is related to the description of the transition surface in whose neighborhood the internal layer is localized. We use a more efficient method for localizing the transition surface, which permits one to develop an approach to a more complicated case of balanced nonlinearity. The results can be used to create a numerical algorithm which uses the asymptotic analyses to construct space-non-uniform meshes while describing internal layer behaviour of the solution. As an illustration, we consider a problem on the plane that allows us to visualize the numerical calculations. Numerical and asymptotic solutions of zero order are compared for different values of the small parameter.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.