д-р физ.-мат. наук, профессор
Dr., Professor
аспирант
graduate student
Исследована сингулярно возмущенная периодическая по времени задача для параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия со слабой линейной адвекцией. Рассмотрен случай реактивного члена в виде кубической нелинейности. На основе уже известных результатов исследуется более общая постановка задачи, причем предоставляются более слабые достаточные условия для существования решения с внутренним переходным слоем, чем в предыдущих работах. Для удобства приводятся уже известные результаты, обеспечивающие выполнение теоремы существования контрастной структуры. Обоснование существования решения с внутренним переходным слоем базируется на использовании асимптотического метода дифференциальных неравенств, основанного на модификации членов построенного асимптотического разложения. Далее устанавливаются достаточные условия для выполнения указанных требований, причем они имеют простые и лаконичные формулировки в виде алгебраического уравнения w(x0,t) = 0 и условия wx(x0,t) < 0, по существу являющегося условием того, что корень x0(t) простой, и обеспечивающего устойчивость найденного решения. Функция w является функцией от известных функций, фигурирующих в реактивном и адвективном членах исходной задачи. Уравнение w(x0,t) = 0 представляет собой задачу для нахождения нулевого приближения x0(t) для определения области локализации внутреннего переходного слоя. Кроме того, исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову найденного периодического решения, основанная на применении метода так называемых сжимающихся барьеров. Основной результат работы сформулирован в виде теоремы.
In the paper, we study a singularly perturbed periodic in time problem for the parabolic reaction-advection-diffusion equation with a weak linear advection. The case of the reactive term in the form of a cubic nonlinearity is considered. On the basis of already known results, a more general formulation of the problem is investigated, with weaker sufficient conditions for the existence of a solution with an internal transition layer to be provided than in previous studies. For convenience, the known results are given, which ensure the fulfillment of the existence theorem of the contrast structure. The justification for the existence of a solution with an internal transition layer is based on the use of an asymptotic method of differential inequalities based on the modification of the terms of the constructed asymptotic expansion. Further, sufficient conditions are established to fulfill these requirements, and they have simple and concise formulations in the form of the algebraic equation w(x0,t) = 0 and the condition wx(x0,t) < 0, which is essentially a condition of simplicity of the root x0(t) and ensuring the stability of the solution found. The function w is a function of the known functions appearing in the reactive and advective terms of the original problem. The equation w(x0,t) = 0 is a problem for finding the zero approximation x0(t) to determine the localization region of the inner transition layer. In addition, the asymptotic Lyapunov stability of the found periodic solution is investigated, based on the application of the so-called compressible barrier method. The main result of the paper is formulated as a theorem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.