maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2018-1-140-150mais-639Research ArticleОригинальные статьиArticlesО минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплексаOn Minimal Absorption Index for an n-Dimensional Simplexhttps://orcid.org/0000-0002-6392-7618НевскийМихаил ВикторовичNevskiiMikhail V.

доктор физ.-мат. наук, доцент, НОМЦ Центр интегрируемых систем

Doctor of Science, Centre of Integrable Systems

mnevsk55@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6551-5118УхаловАлексей ЮрьевичUkhalovAlexey Y.

канд. физ.-мат. наук, НОМЦ Центр интегрируемых систем

PhD, Centre of Integrable Systems

alex-uhalov@yandex.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201823022018251140150Copyright © Невский М.В., Ухалов А.Ю., 20182018Невский М.В., Ухалов А.Ю.Nevskii M.V., Ukhalov A.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/639

Пусть  \(n\in{\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\).  Для невырожденного симплекса\(S\subset{\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра  тяжести  с коэффициентом \(\sigma.\)Положим \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.\)Величину \(\xi(S)\) будем называть коэффициентом поглощения куба \(Q_n\) симплексом \(S\). В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в \(Q_n\), т.е. величины \(\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.\) Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оцениваниинорм интерполяционных проекторов. Общие оценки \(\xi_n\) были ранее получены в работах первого автора.Всегда \(n\leq\xi_n< n+1\). Если существует матрица Адамара порядка \(n+1\), то \(\xi_n=n\).Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид \(\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\)  \((n>2)\).Cуществует не зависящая от \(n\)  константа \(c>0\), такая что для любого симплекса \(S\subset Q_n\), имеющего максимальный объём, выполняются неравенства \(c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)\). Это мотивиpует применение для оценивания \(\xi_n\) сверху симплексов максимального объёма в \(Q_n\). Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный \(0/1\)-определитель порядка \(n\) или максимальный \(-1/1\)-определитель порядка \(n+1\). В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных \(-1/1\)-определителей. Для ряда значений \(n\) c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы \(\xi_n\), полученные теоретическим путём.Приводятся лучшие известные оценки \(\xi_n\) cверху для \(n\leq 118\).

Let  \(n\in{\mathbb N}\) and let \(Q_n\) be the unit cube \([0,1]^n\). For a nondegenerate simplex \(S\subset{\mathbb R}^n\), by \(\sigma S\) denote the homothetic copy of \(S\) with center of homothety in the center of gravity of \(S\) and ratio of homothety \(\sigma.\) Put \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.\) We call \(\xi(S)\)  an absorption index of simplex \(S\). In the present paper, we give new estimates for the minimal absorption index of the simplex contained in \(Q_n\), i.\,e., for the number \(\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.\) In particular, this value and its analogues have applications in estimates for the norms of interpolation projectors. Previously the first author proved some general estimates of \(\xi_n\). Always \(n\leq\xi_n< n+1\). If there exists an Hadamard matrix of order \(n+1\), then \(\xi_n=n\). The best known general upper estimate has the form \(\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\)  \((n>2)\). There exists a constant \(c>0\) not depending on \(n\) such that, for any simplex \(S\subset Q_n\) of maximum volume, inequalities \(c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)\) take place. It motivates the use of maximum volume simplices in upper estimates of \(\xi_n\). The set of vertices of such a simplex can be consructed with  application of maximum \(0/1\)-determinant of order \(n\) or maximum \(-1/1\)-determinant of order \(n+1\). In the paper, we compute absorption indices of maximum volume simplices in \(Q_n\) constructed from known maximum \(-1/1\)-determinants via a special procedure. For some \(n\), this approach makes it possible to lower theoretical upper bounds  of \(\xi_n\). Also we give best known upper estimates of \(\xi_n\) for \(n\leq 118\)

n-мерный симплексn-мерный кубгомотетиякоэффициент поглощенияинтерполяциячисленные методыn-dimensional simplexn-dimensional cubehomothetyabsorption indexinterpolationnumerical methodsРабота выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ, проект № 1.10160.2017/5.1This work was carried out within the framework of the state programme of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation, project № 1.10160.2017/5.1ReferencesКлимов В.С., Ухалов А.Ю., Решение задач математического анализа с использованием систем компьютерной математики, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2014, 96 с.;Klimov V.S., Ukhalov A.Yu., Reshenie zadach matematicheskogo analiza s ispolzovaniem sistem kompyuternoi matematiki, P.G. Demidov Yaroslavl State University, Yaroslavl, 2014, 96 pp., (in Russian).Невский М.В., Хлесткова И.В., “К вопросу о минимальной линейной интерполяции”, Современные проблемы математики и информатики, 9, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2008, 31–37;Nevskij M.V., Khlestkova I.V., “K voprosu o minimalnoi lineinoi interpolyacii”, Sovremennye problemy matematiki i informatiki, 9, P.G. Demidov Yaroslavl State University, Yaroslavl, 2008, 31–37, (in Russian).Невский М.В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24–43;Nevskij M.V., “On a certain relation for the minimal norm of an interpolational projection”, Modeling and Analysis of Information Systems, 16:1 (2009), 24–43, (in Russian).Невский М.В., “Об одном свойстве n-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580–593;Nevskii M.V., “On a property of n-dimensional simplices”, Math. Notes, 87:4 (2010), 543–555.Невский М.В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2012;Nevskii M.V., Geometricheskie ocenki v polinomialnoy interpolyacii, P.G. Demidov Yaroslavl State University, Yaroslavl, 2012, (in Russian).Невский М.В., Ухалов А.Ю., “О числовых характеристиках симплекса и их оценках”, Модел. и анализ информ. систем, 23:5 (2016), 603–619;Nevskii M.V., Ukhalov A.Yu., “On numerical characteristics of a simplex and their estimates”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:5 (2016), 603–619, (in Russian).Невский М.В., Ухалов А.Ю., “Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом”, Модел. и анализ информ. систем, 24:1 (2017), 94–110;Nevskii M.V., Ukhalov A.Yu., “New estimates of numerical values related to a simplex”, Modeling and Analysis of Information Systems, 24:1 (2017), 94–110, (in Russian).Холл M., Комбинаторика, Мир, Москва, 1970;Hall M., Jr, Combinatorial theory, Blaisdall publishing company, Waltham (Massachusets) – Toronto – London, 1967,(in English).Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241–243 (1996), 519–598.Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241–243 (1996), 519–598.Lassak M., “Parallelotopes of maximum volume in a simplex”, Discrete Comput. Geom., 21:3 (1999), 449–462.Lassak M., “Parallelotopes of maximum volume in a simplex”, Discrete Comput. Geom., 21:3 (1999), 449–462.Mangano S., Mathematica cookbook, O’Reilly Media Inc., Cambridge, 2010.Mangano S., Mathematica cookbook, O’Reilly Media Inc., Cambridge, 2010.Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.Scott P.R., “Lattices and convex sets in space”, Quart. J. Math. Oxford (2), 36 (1985), 359–362.Scott P.R., “Lattices and convex sets in space”, Quart. J. Math. Oxford (2), 36 (1985), 359–362.Scott P.R., “Properties of axial diameters”, Bull. Austral. Math. Soc., 39:3 (1989), 329– 333.Scott P.R., “Properties of axial diameters”, Bull. Austral. Math. Soc., 39:3 (1989), 329– 333.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.