maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2018-3-312-322mais-689Research ArticleОригинальные статьиArticlesО гипотезах Ходжа, Тэйта и Мамфорда–Тэйта для расслоенных произведений семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1On the Hodge, Tate and Mumford-Tate Conjectures for Fibre Products of Families of Regular Surfaces with Geometric Genus 1https://orcid.org/0000-0002-6742-8453Орешкина (Никольская)Ольга ВладимировнаOreshkina (Nikol’skaya)Olga V.

канд. физ.-мат. наук, доцент

PhD

papichonok@yandex.ruВладимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. СтолетовыхРоссияA.G. and N.G. Stoletov Vladimir State UniversityRussian Federation201830062018253312322Copyright © Орешкина (Никольская) О.В., 20182018Орешкина (Никольская) О.В.Oreshkina (Nikol’skaya) O.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/689

Доказаны гипотезы Ходжа, Тэйта и Мамфорда-Тэйта для расслоенного произведения двух неизотривиальных 1-параметрических семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1 при некоторых условиях на вырожденные слои, ранги групп Нерона-Севери общих геометрических слоёв семейств и представления групп Ходжа в трансцендентных частях рациональных когомологий.Пусть \(\pi_i:X_i\to C\quad (i = 1, 2) \,-\,\) проективное неизотривиальное семейство поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой \(C\). Предположим, что дискриминантные локусы \(\Delta_i=\{\delta\in C\,\,\vert\,\, Sing(X_{i\delta})\neq\varnothing\}\) не пересекаются, \(h^{2,0}(X_{ks})=1,\quad h^{1,0}(X_{ks}) = 0\) для любого гладкого слоя \(X_{ks}\), причём выполнены следующие условия:\((i)\) для любой точки \(\delta \in \Delta_i\) и преобразования Пикара--Лефшеца \( \gamma \in GL(H^2 (X_{is}, Q)) \), ассоциированного с гладкой частью \(\pi'_i: X'_i\to C\setminus\Delta_i\) морфизма \(\pi_i\) и с обходом вокруг точки \(\delta \in C\), имеем неравенство \((\log(\gamma))^2\neq0\);\((ii)\) многообразия \(X_i \, (i = 1, 2)\), кривая \(C\) и структурные морфизмы \(\pi_i:X_i\to C\) определены над некоторым конечнопорожденным подполем \(k \hookrightarrow C\).Если для общих геометрических слоев \(X_{1s}\) \, и \, \(X_{2s}\) выполнено хотя бы одно из следующих условий: \((a)\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\) является нечетным числом, \(\,\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\); \((b)\) кольцо \( End_{ Hg(X_{1s})} NS_ Q(X_{1s})^\perp\) - мнимое квадратичное поле, \(\, b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq 4,\) \(\, End_{ Hg(X_{2s})} NS_ Q(X_{2s})^\perp\) -- вполне вещественное поле или \(\, b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\,>\, b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\); \((c)\) \([b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq 4, \, End_{ Hg(X_{1s})} NS_ Q(X_{1s})^\perp= Q\); \(\,\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\), то для расслоенного произведения \(X_1 \times_C X_2\) верна гипотеза Ходжа, для любого гладкого проективного \(k\)-многообразия \(X_0\) с условием \(X_1 \times_C X_2\) \(\widetilde{\rightarrow}\) \(X_0 \otimes_k C\) верны гипотеза Тэйта об алгебраических циклах и гипотеза Мамфорда-Тэйта для когомологий чётной степени.Более того, пространство \(H^2_{\text{é}t}(X_0 \otimes_k \overline{k}, Q_l(1))\) порождается классами дивизоров.

The Hodge, Tate and Mumford-Tate conjectures are proved for the fibre product of two non-isotrivial 1-parameter families of regular surfaces with geometric genus 1 under some conditions on degenerated fibres, the ranks of the N\'eron - Severi groups of generic geometric fibres and representations of Hodge groups in transcendental parts of rational cohomology.Let \(\pi_i:X_i\to C\quad (i = 1, 2)\) be a projective non-isotrivial family (possibly with degeneracies) over a smooth projective curve \(C\). Assume that the discriminant loci \(\Delta_i=\{\delta\in C\,\,\vert\,\, Sing(X_{i\delta})\neq\varnothing\} \quad (i = 1, 2)\) are disjoint, \(h^{2,0}(X_{ks})=1,\quad h^{1,0}(X_{ks}) = 0\) for any smooth fibre \(X_{ks}\), and the following conditions hold:\((i)\) for any point \(\delta \in \Delta_i\) and the Picard-Lefschetz transformation \( \gamma \in GL(H^2 (X_{is}, Q)) \), associated with a smooth part \(\pi'_i: X'_i\to C\setminus\Delta_i\) of the morphism \(\pi_i\) and with a loop around the point \(\delta \in C\), we have \((\log(\gamma))^2\neq0\);\((ii)\) the variety \(X_i \, (i = 1, 2)\), the curve \(C\) and the structure morphisms \(\pi_i:X_i\to C\) are defined over a finitely generated subfield \(k \hookrightarrow C\).If for generic geometric fibres \(X_{1s}\) \, and \, \(X_{2s}\) at least one of the following conditions holds: \((a)\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\) is an odd prime number, \(\quad\,\,\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\); \((b)\) the ring \(End_{ Hg(X_{1s})} NS_ Q(X_{1s})^\perp\) is an imaginary quadratic field, \(\quad\,\, b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq 4,\) \(\quad\,\, End_{ Hg(X_{2s})} NS_ Q(X_{2s})^\perp\) is a totally real field or \(\,\, b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\,>\, b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\) ; \((c)\) \([b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq 4, \, End_{ Hg(X_{1s})} NS_ Q(X_{1s})^\perp= Q\); \(\quad\,\,\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\),then for the fibre product \(X_1 \times_C X_2\) the Hodge conjecture is true, for any smooth projective \(k\)-variety \(X_0\) with the condition \(X_1 \times_C X_2\) \(\widetilde{\rightarrow}\) \(X_0 \otimes_k C\) the Tate conjecture on algebraic cycles and the Mumford-Tate conjecture for cohomology of even degree are true.

гипотезы ХоджаТэйтаМамфорда–Тэйтарасслоенное произведениегруппа Мамфорда–Тэйтаl-адическое представлениеHodgeTate and Mumford-Tate conjecturesfibre productMumford-Tate groupl-adic representationРабота выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-31-00266).This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research under the Grant No 16-31-00266.ReferencesHodge W. V. D., “The topological invariants of algebraic varieties”, Proceedings of International Congress of Mathematicians, 1, 1952, 182–192.Hodge W. V. D., “The topological invariants of algebraic varieties”, Proceedings of International Congress of Mathematicians, 1, 1952, 182–192.Танкеев С. Г., “Циклы на простых абелевых многообразиях простой размерности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:1 (1982), 155–170Tankeev S. G., “Cycles on simple abelian varieties of prime dimension”, Mathematics of the USSR– Izvestiya, 20:1 (1983), 157–171Gordon B. B., “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in: Lewis J.D., A survey of the Hodge conjecture. 2 ed., CRM Monograph Series, 10, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, 297–356.Gordon B. B., “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in: Lewis J.D., A survey of the Hodge conjecture. 2 ed., CRM Monograph Series, 10, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, 297–356.Никольская О. В., “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств K3 поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164Nikolskaya O. V., “On algebraic cycles on a fibre product of families of K3 surfaces”, Izv. Math., 77:1 (2013), 143–162.Никольская О. В., “О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей”, Матем. сб., 205:2 (2014), 123–130Nikolskaya O. V., “On the geometry of a smooth model of a fibre product of families of K3 surfaces”, Sbornik: Mathematics, 205:2 (2014), 269–276.Никольская О. В. , “Об алгебраических классах когомологий на гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей”, Матем. заметки, 96:5 (2014), 738–746Nikolskaya O. V. , “On algebraic cohomology classes on a smooth model of a fiber product of families of K3 surfaces”, Math. Notes, 96:5 (2014), 745–752.Mamford D., “Families of abelian varieties”, Proc. of Symposium in Pure Math. AMS, IX (1966), 347–351.Mamford D., “Families of abelian varieties”, Proc. of Symposium in Pure Math. AMS, IX (1966), 347–351.Serre J.-P. , “Representations l-adiques”, Algebraic number theory, Papers contributed for the International Symposium, Kyoto, 1976, ed. S. Iyanaga, Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo, 1977, 177–193.Serre J.-P. , “Representations l-adiques”, Algebraic number theory, Papers contributed for the International Symposium, Kyoto, 1976, ed. S. Iyanaga, Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo, 1977, 177–193.Танкеев С.Г., “Поверхности типа K3 над числовыми полями и гипотеза МамфордаТэйта. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 59:3 (1995), 179—206Tankeev S.G., “Surfaces of K3 type over number fields and the Mumford-Tate conjecture. II”, Russion Akad. Sci. Izv. Math., 59:3 (1995), 619–646.Танкеев С. Г., “Циклы на простых абелевых многообразиях простой размерности над числовыми полями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:6 (1987), 1214—1227Tankeev S. G., “Cycles on simple abelian varieties of prime dimension over number fields”, Mathematics of the USSR–Izvestiya, 31:3 (1988), 527–540.Pink R. , “l-adic algebraic monodromy group cocharacters, and the Mumford-Tate conjecture”, J. reine. angew. Math., 495 (1998), 187–237.Pink R. , “l-adic algebraic monodromy group cocharacters, and the Mumford-Tate conjecture”, J. reine. angew. Math., 495 (1998), 187–237.Tate J., “Algebraic cycles and poles of zeta functions”, Arithmetical Algebraic Geometry, Proc. Conf. Purdue Univ., 1963, Harper and Row, New York, 1965, 93–110.Tate J., “Algebraic cycles and poles of zeta functions”, Arithmetical Algebraic Geometry, Proc. Conf. Purdue Univ., 1963, Harper and Row, New York, 1965, 93–110.Tate J. , “Endomorphisms of abelian varieties over finite fields”, Invent. Math., 2 (1966), 134–144.Tate J. , “Endomorphisms of abelian varieties over finite fields”, Invent. Math., 2 (1966), 134–144.Faltings G. , “Endlichkeitss¨atze f¨ur abelsche Variet¨aten ¨uber Zahlk¨orpern”, Invent. Math., 73:3 (1983), 349–366.Faltings G. , “Endlichkeitss¨atze f¨ur abelsche Variet¨aten ¨uber Zahlk¨orpern”, Invent. Math., 73:3 (1983), 349–366.Танкеев С. Г. , “О циклах на абелевых многообразиях простой размерности над конечными и числовыми полями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 47:2 (1983), 356—365Tankeev S. G. , “On cycles on abelian varieties of prime dimension over finite and number fields”, Mathematics of the USSR–Izvestiya, 22:2 (1984), 329–337.Moonen B. , “On the Tate and Mumford-Tate conjectures in codimension one for varieties with h 2,0 = 1”, Duke Math. J., 166:4 (2017), 739–799.Moonen B. , “On the Tate and Mumford-Tate conjectures in codimension one for varieties with h 2,0 = 1”, Duke Math. J., 166:4 (2017), 739–799.Pignatelli R. , “Some (big) irreducible components of the moduli space of minimal surfaces of general type with pg = q = 1 and K2 = 4”, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 20:3 (2009), 207–226.Pignatelli R. , “Some (big) irreducible components of the moduli space of minimal surfaces of general type with pg = q = 1 and K2 = 4”, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 20:3 (2009), 207–226.Zarhin Yu. G. , “Hodge groups of K3 surfaces”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, 341 (1983), 193–220.Zarhin Yu. G. , “Hodge groups of K3 surfaces”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, 341 (1983), 193–220.Никольская О.В., “Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1”, Моделирование и анализ информационных систем, 23:4 (2016), 440–465Nikol’skaya O.V., “On algebraic cycles on fibre products of non-isotrivial families of regular surfaces with geometric genus 1”, Model. Anal. Inform. Sist., 23:4 (2016), 440–465, (in Russian).Мустафин Г.А., “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978Mustafin G.A., “Families of algebraic varieties and invariant cycles”, Mathematics of the USSR–Izvestiya, 27:2 (1986), 251–278.Deligne P., “Th´eorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ´ , 44 (1974), 5–77.Deligne P., “Th´eorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ´ , 44 (1974), 5–77.Kempf G. et al., Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Mathematics, 339, SpringerVerlag, Berlin – New York, 1973.Kempf G. et al., Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Mathematics, 339, SpringerVerlag, Berlin – New York, 1973.Куликов Вик. С., “Вырождения K3-поверхностей и поверхностей Энриквеса”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:5 (1977), 1008–1042Kulikov Vic. S., “Degenerations of K3 surfaces and Enriques surfaces”, Math. USSR–Izv., 11:5 (1977), 957–988Танкеев С. Г. , “Об арифметике и геометрии общего гиперповерхностного сечения”, Изв. РАН. Сер. матем., 66:2 (2002), 173–204Tankeev S. G. , “The arithmetic and geometry of a generic hypersurface section”, Izv. Math., 66:2 (2002), 393–424Kawamata Y. , “Kodaira dimension of algebraic fiber spaces over curves”, Invent. Math., 66:1 (1982), 57–71.Kawamata Y. , “Kodaira dimension of algebraic fiber spaces over curves”, Invent. Math., 66:1 (1982), 57–71.Birkar C. , “Iitaka conjecture Cn,m in dimension six”, Compositio Mathematica, 2009:6 (1979), 1442–1446.Birkar C. , “Iitaka conjecture Cn,m in dimension six”, Compositio Mathematica, 2009:6 (1979), 1442–1446.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.