канд. физ.-мат. наук, доцент
PhD
Функция \(f\in L_p[I], \;p>0,\) называется \((k,p)\)-дифференцируемой в точке \(x_0\in I,\) если существует алгебраический многочлен \(\pi\) степени не больше \(k,\) для которого выполняется \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}), \) где \(\;J_h=[x_0-h; x_0+h]\cap I.\) Во внутренней точке при \(k=1\) и \(p=\infty\) это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Имеется стандартная "иерархия" существования дифференциалов: если \(p_1<p_2,\) то из \((k,p_2)\)-дифференцируемости следует \((k,p_1)\)-дифференцируемость. В работах С.Н. Бернштейна, А.П. Кальдерона и А. Зигмунда были даны приложения такой конструкции к построению описания функциональных пространств (\(p=\infty\)) и изучению локальных свойств решений дифференциальных уравнений \((1\le p\le\infty)\) соответственно. Данная статья связана с первой указанной работой. В статье вводится понятие равномерной дифференцируемости. Назовём \((k,p)\)-дифференцируемую во всех точках отрезка \(I\) функцию \(f\) равномерно \((k,p)\)-дифференцируемой на \(I\), если для любого числа \(\varepsilon>0\) найдется число \(\delta>0\) такое, что для каждой точки \(x\in I\) выполняется \(\Vert f-\pi\Vert_{L_p[J_h]}<\varepsilon\cdot h^{k+\frac{1}{p}} \;\) при \(0<h<\delta, \; J_h=[x\!-\!h; x\!+\!h]\cap I,\) где \(\pi\) -- многочлен из условия \((k,p)\)-дифференцируемости в точке \(x\). На основе методов локальных приближений функций алгебраическими многочленами показано, что из равномерной \((k,p)\)-дифференцируемости функции \(f\) при некотором \(1\le p\le\infty\) следует \(f\in C^k[I].\) Следовательно, в таком случае дифференциалы "эквивалентны". Поскольку каждая функция из \(C^k[I]\) является равномерно \((k,p)\)-дифференцируемой на отрезке \(I\) при \(1\le p\le\infty,\) то получаем определённый критерий принадлежности функции этому пространству. Диапазон \(0<p<1,\) очевидно, может быть включён в необходимое условие принадлежности функции \(C^k[I]\), однако достаточность дифференцируемости по Тейлору в этом диапазоне пока в полной мере не доказана.
The function \(f\in L_p[I], \;p>0,\) is called \((k,p)\)-differentiable at a point \(x_0\in I\) if there exists an algebraic polynomial of \(\pi\) of degree no more than \(k\) for which holds \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}), \) where \(\;J_h=[x_0-h; x_0+h]\cap I.\) At an internal point for \(k=1\) and \(p=\infty\) this is equivalent to the usual definition of the function differentiability. At an interior point for \(k=1\) and \(p=\infty\), the definition is equivalent to the usual differentiability of the function. There is a standard "hierarchy" for the existence of differentials(if \(p_1<p_2,\) then \((k,p_2)\)-differentiability should be \((k,p_1)\)-differentiability. In the works of S.N. Bernstein, A.P. Calderon and A. Zygmund were given applications of such a construction to build a description of functional spaces (\(p=\infty\)) and the study of local properties of solutions of differential equations \((1\le p\le\infty)\), respectively. This article is related to the first mentioned work. The article introduces the concept of uniform differentiability. We say that a function \(f\), \((k,p)\)-differentiable at all points of the segment \(I\), is uniformly \((k,p)\)-differentiable on \(I\) if for any number \(\varepsilon>0\) there is a number \(\delta>0\) such that for each point \(x\in I\) runs \( \Vert f-\pi\Vert_{L_p[J_h]}<\varepsilon\cdot h^{k+\frac{1}{p}} \; \) for \(0<h<\delta, \; J_h = [x\!-\!H; x\!+\!h]\cap I,\) where \(\pi\) is the polynomial of the terms of the \((k, p)\)-differentiability at the point \(x\). Based on the methods of local approximations of functions by algebraic polynomials it is shown that a uniform \((k,p)\)-differentiability of the function \(f\) at some \(1\le p\le\infty\) implies \(f\in C^k[I].\) Therefore, in this case the differentials are "equivalent". Since every function from \(C^k[I]\) is uniformly \((k,p)\)-differentiable on the interval \(I\) at \(1\le p\le\infty,\) we obtain a certain criterion of belonging to this space. The range \(0<p<1,\) obviously, can be included into the necessary condition the membership of the function \(C^k[I]\), but the sufficiency of Taylor differentiability in this range has not yet been fully proven.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.