канд. физ.-мат. наук
ул. Республиканская, 108, г. Ярославль, 150000
PhD
108 Respublikanskaya str., Yaroslavl 150000
В данной работе затрагивается ключевая проблема геометрического моделирования, связанная с построением кривых пересечения поверхностей. Найдены способы построения кривых пересечения в сложных случаях: при касании и при прохождении через особые точки поверхностей. В первой части работы рассматривается проблема определения линии касания двух поверхностей, заданных в параметрическом виде. Анализируется несколько подходов к решению задачи. Выявляются достоинства и недостатки приведенных подходов. Описываются итерационные алгоритмы поиска точки на линии касания. Вторая часть работы посвящена методам преодоления возникающих трудностей решения задачи для сингулярных точек кривых пересечения, в которых нарушается регулярный итерационный процесс. В зависимости от типа поставленной задачи автор останавливается на двух методах. Первый из них предполагает находить особые точки кривых без использования итерационных методов, что уменьшает время работы алгоритма по построению кривой пересечения. Второй метод, рассматриваемый в заключительной части статьи, относится к численным методам. В этой части автор вводит функцию, достигающую глобального минимума только в особых точках кривых пересечения, и решает задачу минимизации этой функции. Применение этого метода является весьма эффективным в некоторых частных случаях, накладывающих ограничения на поверхности и их расположение. В заключение рассматривается использование этого метода в случае, когда функция имеет такой рельеф, что в окрестности точки минимума поверхности уровня являются сильно вытянутыми эллипсоидами. Все изображения, приведенные в данной статье, являются результатом работы алгоритмов по методам, предложенным автором. Изображения получены с помощью авторской программной среды.
In this paper, we consider the key problem of geometric modeling, connected with the construction of the intersection curves of surfaces. Methods for constructing the intersection curves in complex cases are found: by touching and passing through singular points of surfaces. In the first part of the paper, the problem of determining the tangent line of two surfaces given in parametric form is considered. Several approaches to the solution of the problem are analyzed. The advantages and disadvantages of these approaches are revealed. The iterative algorithms for finding a point on the line of tangency are described. The second part of the paper is devoted to methods for overcoming the difficulties encountered in solving a problem for singular points of intersection curves, in which a regular iterative process is violated. Depending on the type of problem, the author dwells on two methods. The first of them suggests finding singular points of curves without using iterative methods, which reduces the running time of the algorithm of plotting the intersection curve. The second method, considered in the final part of the article, is a numerical method. In this part, the author introduces a function that achieves a global minimum only at singular points of the intersection curves and solves the problem of minimizing this function. The application of this method is very effective in some particular cases, which impose restrictions on the surfaces and their arrangement. In conclusion, this method is considered in the case when the function has such a relief, that in the neighborhood of the minimum point the level surfaces are strongly elongated ellipsoids. All the images given in this article are the result of the work of algorithms on methods proposed by the author. Images are built in the author’s software environment.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.