maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-5-38-48mais-83Research ArticleОригинальные статьиArticlesПрименение метода квазинормальных форм к математической модели отдельного нейронаApplication of the Method of Quasi-Normal Forms to the Mathematical Model of a Single NeuronПреображенскаяМаргарита МихайловнаPreobrazhenskaiaM. M.

аспирант, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

аспирант, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

rita.preo@gmail.comЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2014201020142153848Copyright © Преображенская М.М., 20142014Преображенская М.М.Preobrazhenskaia M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/83

Рассматривается скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение с двумя запаздываниями, которое моделирует поведение отдельного нейрона. При некоторых дополнительных предположениях к этому уравнению применяется известный метод квазинормальных форм. Суть его заключается в формальной нормализации Пуанкаре – Дюлака, получении квазинормальной формы и последующем применении теорем о соответствии. В данном случае результатом применения квазинормальных форм является счетная система дифференциально-разностных уравнений, которую удается свернуть в краевую задачу типа Кортевега – де Фриза. Исследование этой краевой задачи позволяет сделать вывод о поведении исходного уравнения. А именно, при подходящем выборе параметров в рамках данного уравнения реализуется феномен буферности, состоящий в наличии бифуркационного механизма, обеспечивающего рождение сколь угодно большого числа устойчивых циклов.

We consider a scalar nonlinear differential-difference equation with two delays, which models the behavior of a single neuron. Under some additional suppositions for this equation it is applied a well-known method of quasi-normal forms. Its essence lies in the formal normalization of the Poincare – Dulac, the production of a quasi-normal form and the subsequent application of the conformity theorems. In this case, the result of the application of quasi-normal forms is a countable system of differential-difference equations, which manages to turn into a boundary value problem of the Korteweg – de Vries equation. The investigation of this boundary value problem allows to make the conclusion about the behavior of the original equation. Namely, for a suitable choice of parameters in the framework of this equation it is implemented the buffer phenomenon consisting in the presence of the bifurcation mechanism for the birth of an arbitrarily large number of stable cycles.

буферностьдифференциально-разностное уравнениеасимптотикаустойчивостьуравнение Кортевега – де Фризаквазинормальные формыbufferingdifferential-difference equationasymptotic formstabilityKorteweg – de Vries equationquasi-normal formsReferencesГлызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: S. D. Glyzin, A. Yu. Kolesov, N. Kh. Rozov Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. 93:5. P. 676–690.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: S. D. Glyzin, A. Yu. Kolesov, N. Kh. Rozov Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. 93:5. P. 676–690.)Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. (Glyzin S. D., Ovsyannikova E. O. Quasiperiodic oscillations of a neuron equation with two delays // Modeling and Analysis of Information Systems. 2011. V. 18, № 1. P. 86 – 105 [in Russian].)Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. (Glyzin S. D., Ovsyannikova E. O. Quasiperiodic oscillations of a neuron equation with two delays // Modeling and Analysis of Information Systems. 2011. V. 18, № 1. P. 86 – 105 [in Russian].)Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М. : Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009. (Kashchenko S. A., Maiorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M. : Knizhnyy dom LIBROKOM, 2009 [in Russian].)Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М. : Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009. (Kashchenko S. A., Maiorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M. : Knizhnyy dom LIBROKOM, 2009 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в нейродинамике // Доклады академии наук. 2012. Т. 443, № 2. С. 1–5. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85. No. 2. P. 297–300.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в нейродинамике // Доклады академии наук. 2012. Т. 443, № 2. С. 1–5. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85. No. 2. P. 297–300.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. 52:5. P. 702–719.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. 52:5. P. 702–719.)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 1. С. 76–89. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. 49:1. P. 71–83.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 1. С. 76–89. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. 49:1. P. 71–83.)Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений // Тр. МИАН. 1998. Т. 222. С. 3–191. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Asymptotic Methods of Investigation of Periodic Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1998. 222. P. 1–189).Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений // Тр. МИАН. 1998. Т. 222. С. 3–191. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Asymptotic Methods of Investigation of Periodic Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1998. 222. P. 1–189).Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Тр. МИАН. 2007. Т. 259. С. 106–133. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. New Methods for Proving the Existence and Stability of Periodic Solutions in Singularly Perturbed Delay Systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. 259. P. 101–127.)Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Тр. МИАН. 2007. Т. 259. С. 106–133. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. New Methods for Proving the Existence and Stability of Periodic Solutions in Singularly Perturbed Delay Systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. 259. P. 101–127.)Колесов А.Ю., Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. 408 с. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M. : FIZMATLIT, 2004. 408 s. [in Russian].)Колесов А.Ю., Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. 408 с. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M. : FIZMATLIT, 2004. 408 s. [in Russian].)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.