maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-5-61-77mais-85Research ArticleОригинальные статьиArticlesДинамика логистического уравнения с запаздыванием и запаздывающим управлениемThe Dynamics of the Logistic Equation with Delay and Delayed ControlКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2014201020142156177Copyright © Кащенко С.А., 20142014Кащенко С.А.Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/85

Асимптотическими методами исследуются динамические свойства логистического уравнения с запаздыванием и с запаздывающим управлением. Показана возможность эффективного управления характеристиками релаксационного цикла. Разработан новый метод исследования динамики при условии, что коэффициент запаздывающего управления является достаточно большим. Установлено, что исходная задача о динамике уравнения с запаздываниями редуцируется к задаче о нелокальной динамике специальных нелинейных краевых задач параболического типа.

Dynamical properties of a logistic equation with delay and delay control are studied by asymptotic methods. It is shown that effective control of characteristics of relaxation cycle is possible. A new method for studying the dynamics in the case of suffitiently large delay control coeffitient is worked out. It is found that the original problem of the dynamics of equations with delays is reduced to the problem of non-local dynamics of special nonlinear boundary value problems of parabolic type.

релаксационные колебаниябольшой параметрасимптотиказапаздываниепериодическое решениеrelaxation oscillationslarge parameterasymptotic behaviordelayperiodic solutionReferencesХейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale G. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale G. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)Diekmann O., van Gils S.A., Verduyn Lunel S.M., Walther H.-O. Delay Equations: Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis. New York: Springer-Verlag, 1995.Diekmann O., van Gils S.A., Verduyn Lunel S.M., Walther H.-O. Delay Equations: Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis. New York: Springer-Verlag, 1995.Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1996.Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1996.Haken H. Brain Dinamics; Synchronization and Activity Patterns in Pulse-Coupled Neural Nets with Delays and Noise. Springer, 2002.Haken H. Brain Dinamics; Synchronization and Activity Patterns in Pulse-Coupled Neural Nets with Delays and Noise. Springer, 2002.May R.M. Stability and Complexity in Model Ecosystems. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1974.May R.M. Stability and Complexity in Model Ecosystems. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1974.Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer, 1984.Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer, 1984.Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. New York: Academic Press, 1993.Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. New York: Academic Press, 1993.Huang W. Global dynamics for a reaction-diffusion equation with time delay // J. Differential Equations. 1998. Vol. 143. P. 293–326.Huang W. Global dynamics for a reaction-diffusion equation with time delay // J. Differential Equations. 1998. Vol. 143. P. 293–326.Pyragas K. Continious control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 170. P. 42.Pyragas K. Continious control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 170. P. 42.Nakajima H., Ueda Y. Limitation of generalized delayed feedback control of chaos // Physica D. 1998. Vol. 111. P. 143.Nakajima H., Ueda Y. Limitation of generalized delayed feedback control of chaos // Physica D. 1998. Vol. 111. P. 143.Hovel P., Scholl E. Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods // Physical Review E. 2005. Vol. 75. P. 046203.Hovel P., Scholl E. Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods // Physical Review E. 2005. Vol. 75. P. 046203.Fiedler B., Flunkert V., Georgi M., Hovel P., Scholl E. Refuting the odd number limitation of time-delayed feedback control // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 114101.Fiedler B., Flunkert V., Georgi M., Hovel P., Scholl E. Refuting the odd number limitation of time-delayed feedback control // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 114101.Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №. 1—4. P. 66—87.Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №. 1—4. P. 66—87.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ )) y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. 1958. Vol. IV. P. 1—18.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ )) y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. 1958. Vol. IV. P. 1—18.Jones G. S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x−1)[1+f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435—450.Jones G. S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x−1)[1+f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435—450.Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. C. 64–85. [Kashchenko S. A. Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation // Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations). Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64–85 (in Russian)].Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. C. 64–85. [Kashchenko S. A. Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation // Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations). Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64–85 (in Russian)].Кащенко С. А. Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kashchenko S.A. Asymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s Equation // Model. and Anal. Inform. Sist. 2012. Vol. 19, №3. P. 32–62 [in Russian]).Кащенко С. А. Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kashchenko S.A. Asymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s Equation // Model. and Anal. Inform. Sist. 2012. Vol. 19, №3. P. 32–62 [in Russian]).Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Релаксационные колебания в лазерах. М.: УРСС, 2013. (Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Relaxation oscillations in lasers. Moscow: URSS, 2013 [in Russian]).Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Релаксационные колебания в лазерах. М.: УРСС, 2013. (Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Relaxation oscillations in lasers. Moscow: URSS, 2013 [in Russian]).Кащенко С. А. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу ”Кащенко С. А. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу ”хищник-жертва“ // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 52–98. (Kashchenko S. A. Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem // Model. and Anal. Inform. Sist. 2013. Vol. 20, №1. P. 52–98 [in Russian]).хищник-жертва“ // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 52–98. (Kashchenko S. A. Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem // Model. and Anal. Inform. Sist. 2013. Vol. 20, №1. P. 52–98 [in Russian]).Кащенко С. А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // ДАН СССР. 1982. Т. 266, N 4. C. 792–795. (English transl.: Kashchenko S. A. Study by large parameter method of system of nonlinear differential-difference equations modeling ‘predator-sacrifice’ problem // Dokl. Akad. Nauk USSR. 1982. Vol. 266. P. 792–795.)Кащенко С. А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // ДАН СССР. 1982. Т. 266, N 4. C. 792–795. (English transl.: Kashchenko S. A. Study by large parameter method of system of nonlinear differential-difference equations modeling ‘predator-sacrifice’ problem // Dokl. Akad. Nauk USSR. 1982. Vol. 266. P. 792–795.)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 5. С. 18–34. (Kashchenko S.A. Stationary States of a Delay Differentional Equation of Insect Population’s Dynamics // Model. and Anal. Inform. Sist. 2012. Vol. 19, №5. P. 18–34 [in Russian]).Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 5. С. 18–34. (Kashchenko S.A. Stationary States of a Delay Differentional Equation of Insect Population’s Dynamics // Model. and Anal. Inform. Sist. 2012. Vol. 19, №5. P. 18–34 [in Russian]).Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328–330. (Kashchenko S.A. Stationary regimes of equation describing numbers of insects // Reports Academy of Sciences of the USSR. 1983. Vol. 273. P. 328–330 [in Russian]).Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328–330. (Kashchenko S.A. Stationary regimes of equation describing numbers of insects // Reports Academy of Sciences of the USSR. 1983. Vol. 273. P. 328–330 [in Russian]).Эдварс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. (Edwards R.E. Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Pub, 1965.)Эдварс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. (Edwards R.E. Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Pub, 1965.)Кащенко С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 4. С. 693–702. (Kashchenko S. A. Bifurcations in the neighborhood of a cycle under small perturbations with a large delay // Zh. vychisl. mat. i mat. fiz. 2000. Vol. 40, №5. P. 693–702 [in Russian]).Кащенко С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 4. С. 693–702. (Kashchenko S. A. Bifurcations in the neighborhood of a cycle under small perturbations with a large delay // Zh. vychisl. mat. i mat. fiz. 2000. Vol. 40, №5. P. 693–702 [in Russian]).Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. (Marsden J., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York: Springer-Verlag, 1976.)Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. (Marsden J., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York: Springer-Verlag, 1976.)Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. (Hartman P. Ordinary Differential Equations. Wiley, 1964.)Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. (Hartman P. Ordinary Differential Equations. Wiley, 1964.)Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451. (Kashchenko S.A. Application of method of normalization for studying of differential-difference equations with small multiplier for derivative // Differential Equations. 1989. Vol. 25, №8. P. 1448–1451 [in Russian]).Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451. (Kashchenko S.A. Application of method of normalization for studying of differential-difference equations with small multiplier for derivative // Differential Equations. 1989. Vol. 25, №8. P. 1448–1451 [in Russian]).Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, №7. P. 1093–1109.Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, №7. P. 1093–1109.Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // ДАН СССР. 1988. Т. 299, N 5. С. 1049–1053. (Kashchenko S.A. On the quasi-normal forms for parabolic equations with small diffusion // Reports Academy of Sciences of the USSR. 1988. Vol. 299. P. 1049–1053 [in Russian]).Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // ДАН СССР. 1988. Т. 299, N 5. С. 1049–1053. (Kashchenko S.A. On the quasi-normal forms for parabolic equations with small diffusion // Reports Academy of Sciences of the USSR. 1988. Vol. 299. P. 1049–1053 [in Russian]).Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием //Дифф. уравнения. 1999. Т. 35(10). С. 1343–1355. (Kashchenko S. A. Local Dynamics of non-linear singular perturbation systems with delay // Diff. Equations. 1999. Vol. 35. №10. P. 1343–1355 [in Russian]).Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием //Дифф. уравнения. 1999. Т. 35(10). С. 1343–1355. (Kashchenko S. A. Local Dynamics of non-linear singular perturbation systems with delay // Diff. Equations. 1999. Vol. 35. №10. P. 1343–1355 [in Russian]).Кащенко И.С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 743–747. (English transl.: Kashchenko I.S. Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control // Doklady Mathematics. 2011. Vol. 83, No. 2. P. 258–261.)Кащенко И.С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 743–747. (English transl.: Kashchenko I.S. Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control // Doklady Mathematics. 2011. Vol. 83, No. 2. P. 258–261.)Кащенко И.С. Асимптотическое исследование корпоративной динамики систем уравнений, связанных через запаздывающее управление // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443. № 1. С. 9–13. (English transl.: Kashchenko I.S. Asymptotic Study of the Corporate Dynamics of Systems of Equations Coupled by Delay Control // Doklady Mathematics. 2012. Vol. 85, No. 2. P. 163–166.)Кащенко И.С. Асимптотическое исследование корпоративной динамики систем уравнений, связанных через запаздывающее управление // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443. № 1. С. 9–13. (English transl.: Kashchenko I.S. Asymptotic Study of the Corporate Dynamics of Systems of Equations Coupled by Delay Control // Doklady Mathematics. 2012. Vol. 85, No. 2. P. 163–166.)Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1998. Т. 38, №3. C. 457–465. (Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 1998. Vol. 38, №3. P. 457–465 [in Russian]).Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1998. Т. 38, №3. C. 457–465. (Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 1998. Vol. 38, №3. P. 457–465 [in Russian]).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.