maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-5-131-147mais-90Research ArticleОригинальные статьиArticlesПрименение систем компьютерной алгебры для построения метода коллокаций и наименьших невязок решения трехмерных уравнений Навье–СтоксаApplication of Computer Algebra Systems to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for Solving the 3D Navier–Stokes EquationsШапеевВасилий ПавловичShapeevV. P.

доктор физ.-мат. наук, профессор, 630090 Россия, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1

доктор физ.-мат. наук, профессор, Institutskaya str., 4/1, Novosibirsk, 630090, Russia

vshapeev@ngs.ruВорожцовЕвгений ВасильевичVorozhtsovE. V.

доктор физ.-мат. наук, профессор, 630090 Россия, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1

доктор физ.-мат. наук, профессор, Institutskaya str., 4/1, Novosibirsk, 630090, Russia

vorozh@itam.nsc.ruИнститут теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАНРоссияKhristianovich Institute of Theoretical and Applied MechanicsRussian Federation201420102014215131147Copyright © Шапеев В.П., Ворожцов Е.В., 20142014Шапеев В.П., Ворожцов Е.В.Shapeev V.P., Vorozhtsov E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/90

Метод коллокаций и наименьших невязок (КНН), предложенный ранее для численного решения двумерных уравнений Навье–Стокса, описывающих стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости, обобщен здесь на трехмерный случай. В реализованном варианте метода решение ищется в виде разложения по базисным соленоидальным функциям. На всех этапах построения метода КНН применяется система компьютерной алгебры (СКА): для вывода и верификации формул метода и для их перевода в арифметические операторы языка Фортран. Для ускорения сходимости итераций предложен достаточно универсальный и простой в реализации алгоритм, основанный на использовании подпространств Крылова. Полученные расчетные формулы метода КНН были верифицированы на точном аналитическом решении тестовой задачи. Сравнения с опубликованными результатами численных расчетов эталонной задачи о течении жидкости в кубической каверне показывают, что точность результатов, полученных по методу КНН, соответствует высокоточным известным решениям.

The method of collocations and least residuals (CLR), which was proposed previously for the numerical solution of two-dimensional Navier–Stokes equations governing the stationary flows of a viscous incompressible fluid, is extended here for the three-dimensional case. The solution is sought in the implemented version of the method in the form of an expansion in the basis solenoidal functions. At all stages of the CLR method construction, a computer algebra system (CAS) is applied for the derivation and verification of the formulas of the method and for their translation into arithmetic operators of the Fortran language. For accelerating the convergence of iterations a sufficiently universal algorithm is proposed, which is simple in its implementation and is based on the use of the Krylov’s subspaces. The obtained computational formulas of the CLR method were verified on the exact analytic solution of a test problem. Comparisons with the published numerical results of solving the benchmark problem of the 3D driven cubic cavity flow show that the accuracy of the results obtained by the CLR method corresponds to the known high-accuracy solutions.

трехмерные уравнения Навье–Стоксаметод коллокаций и наименьших невязоккомпьютерная алгебратечение в кубической кавернеподпространства Крыловаthree-dimensional Navier–Stokes equationsthe method of collocations and least residualscomputer algebracubic cavity flowKrylov’s subspacesРФФИReferencesWesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.Ferziger J.H., Peri´c M. Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition. Berlin: Springer-Verlag, 2002.Ferziger J.H., Peri´c M. Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition. Berlin: Springer-Verlag, 2002.Бураго Н.Г. Вычислительная механика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 (English transl.: Burago N.G. Computational Mechanics. Moscow: published by Moscow State Techn. University named after N.E. Bauman, 2012.).Бураго Н.Г. Вычислительная механика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 (English transl.: Burago N.G. Computational Mechanics. Moscow: published by Moscow State Techn. University named after N.E. Bauman, 2012.).Быстров Ю.А., Исаев С.А., Кудрявцев Н.А., Леонтьев А.И. Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах труб. Санкт-Петербург: Судостроение, 2005. (English transl.: Bystrov Yu.A., Isaev S.A., Kudryavtsev N.A., Leontiev A.I. Numerical Modeling of Vortex Intensification of Heat Exchange in Pipe Packages. St. Petersburg: Sudostroenie, 2005.)Быстров Ю.А., Исаев С.А., Кудрявцев Н.А., Леонтьев А.И. Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах труб. Санкт-Петербург: Судостроение, 2005. (English transl.: Bystrov Yu.A., Isaev S.A., Kudryavtsev N.A., Leontiev A.I. Numerical Modeling of Vortex Intensification of Heat Exchange in Pipe Packages. St. Petersburg: Sudostroenie, 2005.)Girault V., Raviart P.A. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer-Verlag, London, 2011.Girault V., Raviart P.A. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer-Verlag, London, 2011.Черный С.Г., Чирков Д.В., Лапин В.Н., Скороспелов В.А., Шаров С.В. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новосибирск: Наука, 2006. (English transl.: Cherny S.G., Chirkov D.V., Lapin V.N., Skorospelov V.A. Numerical Modeling of Flows in Turbomachines. Novosibirsk: Nauka, 2006.)Черный С.Г., Чирков Д.В., Лапин В.Н., Скороспелов В.А., Шаров С.В. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новосибирск: Наука, 2006. (English transl.: Cherny S.G., Chirkov D.V., Lapin V.N., Skorospelov V.A. Numerical Modeling of Flows in Turbomachines. Novosibirsk: Nauka, 2006.)Слепцов А.Г. Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач // Моделирование в механике. 1991. Т. 5(22), №2. С. 101–126. (English transl.: Sleptsov A.G. Collocation-grid solution of elliptic boundary-value problems // Modelirovanie v mekhanike. 1991. V. 5(22), No. 2. P. 101–126.)Слепцов А.Г. Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач // Моделирование в механике. 1991. Т. 5(22), №2. С. 101–126. (English transl.: Sleptsov A.G. Collocation-grid solution of elliptic boundary-value problems // Modelirovanie v mekhanike. 1991. V. 5(22), No. 2. P. 101–126.)Семин Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П. Метод коллокаций – наименьших квадратов для уравнений Стокса // Вычисл. технологии. 1996. Т. 1, № 2. С. 90–98. (English transl.: Semin L.G., Sleptsov A.G., Shapeev V.P. Collocation and least-squares method for Stokes equations // Computat. Technologies. 1996. V. 1, No. 2. P. 90–98.)Семин Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П. Метод коллокаций – наименьших квадратов для уравнений Стокса // Вычисл. технологии. 1996. Т. 1, № 2. С. 90–98. (English transl.: Semin L.G., Sleptsov A.G., Shapeev V.P. Collocation and least-squares method for Stokes equations // Computat. Technologies. 1996. V. 1, No. 2. P. 90–98.)Исаев В.И., Шапеев В.П. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50, № 10. С. 1758–1770. (English transl.: Isaev V.I., Shapeev V.P. High-accuracy versions of the collocations and least squares method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations // Computat. Math. and Math. Phys. 2010. V. 50, No. 10. P. 1670–1681.)Исаев В.И., Шапеев В.П. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50, № 10. С. 1758–1770. (English transl.: Isaev V.I., Shapeev V.P. High-accuracy versions of the collocations and least squares method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations // Computat. Math. and Math. Phys. 2010. V. 50, No. 10. P. 1670–1681.)Исаев В.И., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для решения уравнений Навье–Стокса // Докл. Академии наук. 2012. Т. 442, №4. С. 442–445. (English transl.: Isaev V.I., Shapeev V.P. High-order accurate collocations and least squares method for solving the Navier - Stokes equations // Dokl. Math. 2012. V. 85. P. 71–74.)Исаев В.И., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для решения уравнений Навье–Стокса // Докл. Академии наук. 2012. Т. 442, №4. С. 442–445. (English transl.: Isaev V.I., Shapeev V.P. High-order accurate collocations and least squares method for solving the Navier - Stokes equations // Dokl. Math. 2012. V. 85. P. 71–74.)Shapeev V.P., Vorozhtsov E.V. Symbolic-numeric implementation of the method of collocations and least squares for 3D Navier–Stokes equations // Gerdt V.P., Koepf W., Mayr E.W., Vorozhtsov E.V. (eds.) CASC 2012. LNCS. 2012. V. 7442. P. 321–333. Springer, Heidelberg.Shapeev V.P., Vorozhtsov E.V. Symbolic-numeric implementation of the method of collocations and least squares for 3D Navier–Stokes equations // Gerdt V.P., Koepf W., Mayr E.W., Vorozhtsov E.V. (eds.) CASC 2012. LNCS. 2012. V. 7442. P. 321–333. Springer, Heidelberg.Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем // Изв. АН СССР, Отд. матем. и естеств. наук. 1931. № 4. С. 491–539. (English transl.: Krylov A.N. On the numerical solution of the equation, which determines in technological questions the frequencies of small oscillations of material systems // Izv. AN SSSR, otd. matem. i estestv. nauk. 1931. No. 4. P. 491–539.)Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем // Изв. АН СССР, Отд. матем. и естеств. наук. 1931. № 4. С. 491–539. (English transl.: Krylov A.N. On the numerical solution of the equation, which determines in technological questions the frequencies of small oscillations of material systems // Izv. AN SSSR, otd. matem. i estestv. nauk. 1931. No. 4. P. 491–539.)Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций. II // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. Т. 3, № 5. C. 118–125. (English transl.: Sleptsov A.G. On convergence acceleration of linear iterations. II // Modelirovanie v mekhanike. 1989. V. 3, No. 5. P. 118–125.)Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций. II // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. Т. 3, № 5. C. 118–125. (English transl.: Sleptsov A.G. On convergence acceleration of linear iterations. II // Modelirovanie v mekhanike. 1989. V. 3, No. 5. P. 118–125.)Saad Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Manchester University Press, Manchester, 1991.Saad Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Manchester University Press, Manchester, 1991.Albensoeder S., Kuhlmann H.C. Accurate three-dimensional lid-driven cavity flow // J. Comput. Phys. 2005. V. 206. P. 536–558.Albensoeder S., Kuhlmann H.C. Accurate three-dimensional lid-driven cavity flow // J. Comput. Phys. 2005. V. 206. P. 536–558.Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow // Comput. Fluids. 1998. V. 27. P. 421–433.Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow // Comput. Fluids. 1998. V. 27. P. 421–433.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.