maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-5-162-180mais-92Research ArticleОригинальные статьиArticlesО числе сосуществующих автоволновых решений цепочки диффузионно связанных осцилляторов нейронного типаOn the Number of Coexisting Autowaves in the Chain of Coupled OscillatorsБогомоловЮрий ВикторовичBogomolovY. V.

старший преподаватель кафедры дискретного анализа, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

старший преподаватель кафедры дискретного анализа, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

mathematics@inbox.ruГлызинСергей ДмитриевичGlyzinAS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14 ;

ведущий научный сотрудник, 142432 Россия, Московская область, г. Черноголовка, ул. Лесная, д. 9

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia ;

ведущий научный сотрудник, Lesnaya str., 9, Chernogolovka, Moscow region, 142432, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruКолесовАндрей ЮрьевичKolesovA. Yu.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kolesov@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Отдел прикладных сетевых исследований НЦЧ РАНРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; Scientific Center in Chernogolovka RASRussian Federation201420102014215162180Copyright © Богомолов Ю.В., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., 20142014Богомолов Ю.В., Глызин С.Д., Колесов А.Ю.Bogomolov Y.V., GlyzinA S.D., Kolesov A.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/92

Рассматривается математическая модель нейронной ассоциации, представляющая собой цепочку диффузионно связанных осцилляторов. Каждый из осцилляторов, моделирующих отдельный нейрон, задан некоторым сингулярно возмущенным скалярным нелинейным дифференциально-разностным уравнением с двумя запаздываниями. Сингулярность осцилляторов позволяет перейти к предельной системе без малых параметров, но с импульсным внешним воздействием. Утверждение о соответствии между полученной системой с импульсным воздействием и исходной цепочкой осцилляторов дает возможность показать, что в этой цепочке при согласованном увеличении числа звеньев цепочки и уменьшении коэффициента диффузии происходит неограниченный рост количества ее сосуществующих устойчивых периодических движений (ре- ализуется феномен буферности). Выполнен численный эксперимент, позволяющий определить, как меняется число устойчивых режимов системы при изменении параметра связи.

We consider a model of neuron complex formed by a chain of diffusion coupled oscillators. Every oscillator simulates a separate neuron and is given by a singularly perturbed nonlinear differential-difference equation with two delays. Oscillator singularity allows reduction to limit system without small parameters but with pulse external action. The statement on correspondence between the resulting system with pulse external action and the original oscillator chain gives a way to demonstrate that under consistent growth of the chain node number and decrease of diffusion coefficient we can obtain in this chain unlimited growth of its coexistent stable periodic orbits (buffer phenomenon). Numerical simulations give the actual dependence of the number of stable orbits on the diffusion parameter value.

дифференциально-разностные уравнениярелаксационный циклавтоволныустойчивостьбуферностьbursting-эффектdifference-differential equationsrelaxation cycleautowavesstabilitybufferingburstingРоссийский научный фондReferencesChay T.R., Rinzel J. Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model // Biophys. J. 1985. V. 47. № 3. P. 357 – 366.Chay T.R., Rinzel J. Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model // Biophys. J. 1985. V. 47. № 3. P. 357 – 366.Ermentrout G. B., Kopell N. Parabolic bursting in an excitable system coupled with a slow oscillation // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46. № 2. P. 233 – 253.Ermentrout G. B., Kopell N. Parabolic bursting in an excitable system coupled with a slow oscillation // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46. № 2. P. 233 – 253.Izhikevich E. Neural excitability, spiking and bursting // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10. № 6. P. 1171 – 1266.Izhikevich E. Neural excitability, spiking and bursting // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10. № 6. P. 1171 – 1266.Rabinovich M.I., Varona P., Selverston A.I., Abarbanel H.D.I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. № 4. P. 1213 – 1265.Rabinovich M.I., Varona P., Selverston A.I., Abarbanel H.D.I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. № 4. P. 1213 – 1265.Coombes S., Bressloff P.C. Bursting: the genesis of rhythm in the nervous system. (World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005)Coombes S., Bressloff P.C. Bursting: the genesis of rhythm in the nervous system. (World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005)Колесов А.Ю., Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М. : Физматлит, 2004. 408 с. [Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M. : Fizmatlit, 2004. 408 s. (in Russian).]Колесов А.Ю., Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М. : Физматлит, 2004. 408 с. [Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M. : Fizmatlit, 2004. 408 s. (in Russian).]Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 432 с. [Mishchenko E. F., Sadovnichii V. A., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Avtovolnovyye protsessy v nelineynykh sredakh s diffuziyey. M. : Fizmatlit, 2005. 432 s. (in Russian).]Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 432 с. [Mishchenko E. F., Sadovnichii V. A., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Avtovolnovyye protsessy v nelineynykh sredakh s diffuziyey. M. : Fizmatlit, 2005. 432 s. (in Russian).]Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Феномен буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. [English transl.: Glyzin S., Kolesov A., Rozov N. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85, № 2. P. 297–300.]Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Феномен буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. [English transl.: Glyzin S., Kolesov A., Rozov N. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85, № 2. P. 297–300.]Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. [Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. (in Russian).]Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. [Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. (in Russian).]Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500 – 544.Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500 – 544.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Математические заметки. 2013. Т. 93. № 5. С. 682–699. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. Vol. 93. No. 5. P. 676–690.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Математические заметки. 2013. Т. 93. № 5. С. 682–699. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. Vol. 93. No. 5. P. 676–690.]Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. [English transl.: Glyzin S.D., Ovsyannikova E.O. Double Frequency Oscillations of an Impulse Neuron Equation with Two Delays // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, No. 7. P. 526–540.]Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. [English transl.: Glyzin S.D., Ovsyannikova E.O. Double Frequency Oscillations of an Impulse Neuron Equation with Two Delays // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, No. 7. P. 526–540.]Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C¹-аппроксимация // Тр. МИАН. Т. 216. М.: Наука, 1997. С. 126–153. [English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Relay with delay and its C¹-approximation // Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1997. V. 216. P. 119–146.]Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C¹-аппроксимация // Тр. МИАН. Т. 216. М.: Наука, 1997. С. 126–153. [English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Relay with delay and its C¹-approximation // Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1997. V. 216. P. 119–146.]Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 12. С. 2099 – 2112. [English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. A modification of Hutchinson’s equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50, no. 12. P. 1990–2002.]Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 12. С. 2099 – 2112. [English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. A modification of Hutchinson’s equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50, no. 12. P. 1990–2002.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. С. 919 – 932. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: I // Differential Equations. 2011. V. 47, № 7. P. 927–941.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. С. 919 – 932. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: I // Differential Equations. 2011. V. 47, № 7. P. 927–941.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Изв РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. № 2. С. 53 – 96. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation Self-oscillations in Hopfield Networks with Delay // Izvestiya. Mathematics. 2013. V. 77, № 2. P. 271–312.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Изв РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. № 2. С. 53 – 96. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation Self-oscillations in Hopfield Networks with Delay // Izvestiya. Mathematics. 2013. V. 77, № 2. P. 271–312.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1675 – 1692. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: II // Differential Equations. 2011. V. 47, № 12. P. 1697–1713.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1675 – 1692. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: II // Differential Equations. 2011. V. 47, № 12. P. 1697–1713.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175.]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.