maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State Universitymais-955Research ArticleОригинальные статьиArticlesРазностные аппроксимации уравнения «реакция - диффузия» на отрезкеDifference approximations of "reaction - diffusion" equation on a segmentГлызинС. Д.GlyzinS. D.glyzin@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваRussian Federation20092009200916396116Copyright © Глызин С.Д., 20092009Глызин С.Д.Glyzin S.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/955

Для цепочки диффузионно слабо связанных колебательных систем на устойчивом интегральном многообразии построена и проанализирована система разностей фаз осцилляторов. В случае, когда число осцилляторов в цепочке растет, численными методами показано, что ляпуновская размерность аттрактора увеличивается по близкому к линейному закону. Произведен обширный численный эксперимент для разностной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, в котором проиллюстрирован этот результат и определены границы применимости асимптотических методов.

The system of phase differences for a chain of diffuse weakly coupled oscillators on a stable integral manifold is constructed and analysed. It is shown by means of numerical methods that as the number of oscillators in the chain increases, the Lyapunov dimention growth is close to linear. The extensive computations performed for difference model of Ginsburg-Landau equation illustrate this result and determine the applicability limits for asymptotic methods.

хаотический аттракторавтоколебанияавтогенераторыляпуновская размерностьбифуркацияинвариантный торchaotic attractorautooscillationsautogeneratorLyapunov's dimensionbifurcationsinvariant torusReferencesАбарбанель Г.Д., Рабинович М. И., Селверстон А., Баженов М. В., Хуэрта Р., Сущик М. М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // Усп. физ. наук. 1996. Т. 166, № 4. С. 363 - 390.Абарбанель Г.Д., Рабинович М. И., Селверстон А., Баженов М. В., Хуэрта Р., Сущик М. М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // Усп. физ. наук. 1996. Т. 166, № 4. С. 363 - 390.Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М. И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 12. С. 561 - 564.Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М. И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 12. С. 561 - 564.Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7 - 44.Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7 - 44.Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., Abarbanel H. D. I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 1213 - 1265.Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., Abarbanel H. D. I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 1213 - 1265.Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.Кащенко С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией // Диф. уравнения. 1989. Т.25, № 2. С. 262 - 270.Кащенко С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией // Диф. уравнения. 1989. Т.25, № 2. С. 262 - 270.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 1. С. 41 - 49.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 1. С. 41 - 49.Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 1. С. 831 - 835.Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 1. С. 831 - 835.Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130 - 141.Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130 - 141.Ruelle D., Takens F. On the nature of tubulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167 - 192.Ruelle D., Takens F. On the nature of tubulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167 - 192.Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г., Самарский А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1987. Т. 28. С. 207 - 313.Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г., Самарский А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1987. Т. 28. С. 207 - 313.Глызин С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения "реакция - диффузия" // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805 - 811.Глызин С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения "реакция - диффузия" // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805 - 811.Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау - Колесова о природе турбулентности // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс. 1989. Вып. 3. С. 31 - 36.Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау - Колесова о природе турбулентности // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс. 1989. Вып. 3. С. 31 - 36.Аронсон И. С, Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ. 1985. Т. 89, № 1. С. 92 - 105.Аронсон И. С, Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ. 1985. Т. 89, № 1. С. 92 - 105.Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. П., Старобинец И. М. О рождении многомерного хаоса в активных решетках // ДАН СССР. 1984. Т. 279, № 3. С. 596 -602.Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. П., Старобинец И. М. О рождении многомерного хаоса в активных решетках // ДАН СССР. 1984. Т. 279, № 3. С. 596 -602.Колесов Ю. С, Майоров В. В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1986. С. 3 - 13.Колесов Ю. С, Майоров В. В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1986. С. 3 - 13.Колесов Ю. С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3 - 40.Колесов Ю. С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3 - 40.Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28 - 34.Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28 - 34.Митрополъский Ю.А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.Митрополъский Ю.А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.Глызин Д. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer". Заявка № 2008610548 от 14.02.2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008 г.Глызин Д. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer". Заявка № 2008610548 от 14.02.2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008 г.Рабинович М. П., Сущик М. М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Усп. физ. наук. 1990. T. 160, вып. 1. С. 3 - 64.Рабинович М. П., Сущик М. М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Усп. физ. наук. 1990. T. 160, вып. 1. С. 3 - 64.Ахромеева Т. С, Курдюмов СП, Малинецкий ГГ., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.Ахромеева Т. С, Курдюмов СП, Малинецкий ГГ., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.Анищенко В. С, Окрокверцхов ГА., Стрелкова Г. И. Статистические свойства динамического хаоса // Усп. физ. наук. 2005. Т. 175, №2. С. 163 - 179.Анищенко В. С, Окрокверцхов ГА., Стрелкова Г. И. Статистические свойства динамического хаоса // Усп. физ. наук. 2005. Т. 175, №2. С. 163 - 179.Benettm С, Galgani Г., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338-2345.Benettm С, Galgani Г., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338-2345.Wolf A., Swift J. В., Swmney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285 - 317.Wolf A., Swift J. В., Swmney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285 - 317.Малинецкий ГГ., Потапов А. Б. О вычислении размерностей странных аттракторов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, №7. С. 1021 -1037.Малинецкий ГГ., Потапов А. Б. О вычислении размерностей странных аттракторов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, №7. С. 1021 -1037.Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268 - 273.Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268 - 273.Dormand J. R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19 - 26.Dormand J. R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19 - 26.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.